Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\(x_1 = 2, \quad x_2 = 3\) (оба корня действительные, различных).

Как это получается

Способ 1. По теореме Виета (самый быстрый для приведённого уравнения)

Приведённое уравнение \(x^2 + px + q = 0\) имеет корни, для которых:

• \(x_1 + x_2 = -p\) — сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком;
• \(x_1 \cdot x_2 = q\) — произведение равно свободному члену.

У нас \(p = -5\), \(q = 6\), значит:

\[x_1 + x_2 = 5, \qquad x_1 \cdot x_2 = 6.\]

Подбираем два числа: \(2\) и \(3\), так как \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\).

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда, даже когда корни «некрасивые»)

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0,\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}.\]

Отсюда \(x_1 = \dfrac{5-1}{2} = 2\) и \(x_2 = \dfrac{5+1}{2} = 3\).

Способ 3. Разложение на множители

Ищем числа, дающие в сумме \(5\), а в произведении \(6\): это \(2\) и \(3\). Тогда

\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0,\]

а произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x = 2\) или \(x = 3\).

Проверка

Подставим \(x = 2\): \(4 - 10 + 6 = 0\) ✓. Подставим \(x = 3\): \(9 - 15 + 6 = 0\) ✓.

По Виету сумма корней \(2+3=5\), произведение \(2\cdot 3=6\) — совпадает с коэффициентами.

Принцип, который стоит запомнить

1. Уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\) при \(a \ne 0\) — квадратное.
2. Знак дискриминанта говорит о числе корней: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет (в 9 классе).
3. Если коэффициент при \(x^2\) равен \(1\) (приведённое уравнение) и корни целые, Виет или разложение на множители быстрее дискриминанта — но дискриминант надёжнее, он не требует подбора.