Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(E(X)=1{,}8\)
- \(p=0{,}5,\quad E(X)=3{,}2\)
- Средний чистый выигрыш: \(-50\) рублей
- \(E(X)=5{,}6\)
- \(E(X)=1{,}2\)
Основная формула для дискретной случайной величины:
\[ E(X)=\sum_i x_i p_i \]
То есть каждое значение умножаем на его вероятность и складываем. Сумма всех вероятностей должна быть равна \(1\).
1. Значения \(0,1,2,4\); вероятности \(0{,}2;0{,}3;0{,}25;0{,}25\)
\[ E(X)=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}25+4\cdot0{,}25 \]
\[ E(X)=0+0{,}3+0{,}5+1=1{,}8 \]
Ответ: \(1{,}8\).
Проверка: \(0{,}2+0{,}3+0{,}25+0{,}25=1\), всё верно.
2. Значения \(1,3,5\); вероятности \(0{,}2;p;0{,}3\)
Сначала находим \(p\):
\[ 0{,}2+p+0{,}3=1 \]
\[ p=0{,}5 \]
Теперь считаем математическое ожидание:
\[ E(X)=1\cdot0{,}2+3\cdot0{,}5+5\cdot0{,}3 \]
\[ E(X)=0{,}2+1{,}5+1{,}5=3{,}2 \]
Ответ: \(3{,}2\).
3. Лотерейный билет
Сначала найдём ожидаемую выплату по билету:
\[ E(\text{выплата})=500\cdot0{,}1+1000\cdot0{,}02+0\cdot0{,}88 \]
\[ =50+20=70 \]
Но билет стоит \(120\) рублей, поэтому чистый выигрыш:
\[ E(\text{чистый выигрыш})=70-120=-50 \]
Ответ: \(-50\) рублей, то есть в среднем игрок теряет \(50\) рублей на билете.
Можно проверить по возможным чистым результатам:
\[ 0{,}1(500-120)+0{,}02(1000-120)+0{,}88(0-120) \]
\[ =0{,}1\cdot380+0{,}02\cdot880-0{,}88\cdot120 \]
\[ =38+17{,}6-105{,}6=-50 \]
4. Восемь независимых выстрелов, вероятность попадания \(0{,}7\)
Число попаданий имеет биномиальное распределение. Для него:
\[ E(X)=np \]
где \(n=8\), \(p=0{,}7\):
\[ E(X)=8\cdot0{,}7=5{,}6 \]
Ответ: \(5{,}6\).
Смысл: каждый выстрел в среднем даёт \(0{,}7\) попадания, а за \(8\) выстрелов — \(8\cdot0{,}7\).
5. В коробке \(3\) красных и \(2\) синих шара, выбирают \(2\) без возвращения
Пусть \(X\) — число красных шаров среди двух выбранных.
Всего способов выбрать \(2\) шара из \(5\):
\[ C_5^2=10 \]
Возможные значения \(X\): \(0,1,2\).
\[ P(X=0)=\frac{C_3^0C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10} \]
\[ P(X=1)=\frac{C_3^1C_2^1}{C_5^2}=\frac{6}{10} \]
\[ P(X=2)=\frac{C_3^2C_2^0}{C_5^2}=\frac{3}{10} \]
Тогда:
\[ E(X)=0\cdot\frac{1}{10}+1\cdot\frac{6}{10}+2\cdot\frac{3}{10} \]
\[ E(X)=0+0{,}6+0{,}6=1{,}2 \]
Ответ: \(1{,}2\).
Есть и короткий способ: каждый из двух выбранных шаров с вероятностью \(\frac35\) окажется красным, поэтому
\[ E(X)=2\cdot\frac35=1{,}2 \]
