46

Отдых с футболом — хорошее дело. Но здесь моя основная тема — учёба и школьные задания. Пообщаться с людьми можно в комьюнити Новой Школы: Telegram ВКонтакте

Если понадобится разобрать задание — пиши.

Принцип тот же: дробь подставляем в скобках, умножаем число на дробь, сокращаем.

Возьмём, например, \(x=\frac25\).

а) \(ax-3y\) при \(a=10,\ y=-\frac13\):

\[ 10\cdot\frac25-3\cdot\left(-\frac13\right)=4-(-1)=5 \]

б) \(ax+bx+c\) при \(a=\frac12,\ b=-3,\ c=5{,}8\):

\[ \frac12\cdot\frac25+(-3)\cdot\frac25+5{,}8 =\frac15-\frac65+5{,}8 =-1+5{,}8=4{,}8 \]

Полезно помнить:
\[ \text{число}\cdot\frac{m}{n}=\frac{\text{число}\cdot m}{n} \] то есть умножаем на числитель, а знаменатель сохраняем, затем сокращаем.

Если \(x\) отрицательная дробь, её тоже берём в скобки, например: \[ 10\cdot\left(-\frac34\right)=-\frac{30}{4}=-\frac{15}{2}. \]

Если хочешь посчитать для конкретной дроби — напиши, какой именно \(x\).

Каша — это нормально: здесь сразу три вещи в куче — буквы, минусы и дроби. Давай разберём их по одной, медленно.

Шаг 1. Буква — это пустая коробка

Выражение \(ax-3y\) — это просто запись действий: «умножить \(a\) на \(x\), потом вычесть \(3y\)». Пока буквы — коробки без содержимого, выражение ничего не значит.

«Найти значение при \(a=10,\ x=-5,\ y=-\frac13\)» = положить в коробки эти числа. Всё. Больше в задании ничего не спрятано.

Шаг 2. Кладём числа — всегда в скобках

\[ ax-3y \;\rightarrow\; 10\cdot(-5)-3\cdot\left(-\tfrac13\right) \]

Зачем скобки? Потому что \(3\cdot-5\) — это запись, которую нельзя прочитать однозначно. Скобки говорят: «вот одно целое число, отрицательное».

Шаг 3. Порядок действий — как в обычной арифметике

1. Сначала умножение.
2. Потом плюс и минус, слева направо.

\[ 10\cdot(-5)=-50 \] \[ 3\cdot\left(-\tfrac13\right)=-1 \] \[ -50-(-1)=-50+1=-49 \]

Шаг 4. Три правила про минус — их достаточно

• минус на плюс даёт минус: \((-3)\cdot2=-6\);
• минус на минус даёт плюс: \((-3)\cdot(-2)=6\);
• минус перед скобкой переворачивает знак: \(-(-1)=+1\).

Всё остальное — это же самое, только с дробями.

Шаг 5. Проверь себя на простом

Найди значение \(5n-2m\) при \(n=-2,\ m=3\).

Сначала подставь в скобках, потом умножь, потом вычитай. Сверься: должно получиться \(-16\).

---

Скажи, где именно рвётся: в подстановке чисел, в минусах или в дробях? Начнём ровно с этого места, и я дам два-три задания только на него.

Задание 393

а) В виде квадрата

\[ 0{,}81=0{,}9^2 \] \[ 0{,}16=0{,}4^2 \] \[ 144=12^2 \] \[ \frac{25}{169}=\left(\frac{5}{13}\right)^2 \] \[ 1\frac{24}{25}=\frac{49}{25}=\left(\frac75\right)^2=(1{,}4)^2 \] \[ 0{,}0004=0{,}02^2 \]

б) В виде куба

\[ 64=4^3 \] \[ -216=(-6)^3 \] \[ 0{,}008=0{,}2^3 \] \[ -\frac1{64}=\left(-\frac14\right)^3 \] \[ 4\frac{17}{27}=\frac{125}{27}=\left(\frac53\right)^3 \]

в) В виде степени десяти

\[ 10=10^1 \] \[ 100=10^2 \] \[ 1000=10^3 \] \[ 1\,000\,000=10^6 \]

г) В виде степени пяти

\[ 125=5^3 \] \[ 625=5^4 \] \[ 15\,625=5^6 \]

Как это искать:
квадрат — число во второй степени, куб — в третьей. Например, \(0{,}81=0{,}9\cdot0{,}9\). У дробей отдельно извлекаем корень из числителя и знаменателя: \(\frac{25}{169}=\frac{5^2}{13^2}\). Смешанное число сначала переводим в неправильную дробь: \(1\frac{24}{25}=\frac{49}{25}\).

Проверка: \(\left(\frac75\right)^2=\frac{49}{25}=1\frac{24}{25}\), а \(\left(\frac53\right)^3=\frac{125}{27}=4\frac{17}{27}\).

Тут нужен всего один навык: увидеть, какое число умножали само на себя. Разберём по порядку, а потом ты сам попробуешь.

1. Квадрат: «число × само себя»

Держи в голове таблицу квадратов:

\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100,\ 121,\ 144 \]

Это \(1^2,\ 2^2,\ 3^2,\dots,\ 12^2\).

Пример из задания: \(144\). Ищем в таблице — это \(12^2\). Всё, ответ готов.

Как искать, если таблицу забыл: пробуй числа. \(10\cdot10=100\) — мало. \(13\cdot13=169\) — много. Значит, между ними: \(12\cdot12=144\). Подошло.

2. Десятичная дробь: считаем знаки после запятой

\[ 0{,}81 \]

Убираем запятую: \(81=9^2\). После запятой два знака — значит, в ответе один знак:

\[ 0{,}81=0{,}9^2 \]

Проверка: \(0{,}9\cdot0{,}9=0{,}81\) (девятью девять — 81, и два знака после запятой).

Так же: \(0{,}16=0{,}4^2\), потому что \(16=4^2\).

3. Обыкновенная дробь: числитель и знаменатель отдельно

\[ \frac{25}{169} \]

Сверху \(25=5^2\), снизу \(169=13^2\). Значит:

\[ \frac{25}{169}=\left(\frac{5}{13}\right)^2 \]

Смешанное число сначала превращаем в неправильную дробь:

\[ 1\frac{24}{25}=\frac{1\cdot25+24}{25}=\frac{49}{25}=\left(\frac75\right)^2 \]

4. Куб: «число × само себя × само себя»

Таблица кубов:

\[ 1,\ 8,\ 27,\ 64,\ 125,\ 216,\ 343,\ 512,\ 729,\ 1000 \]

• \(64\) — это \(4^3\), потому что \(4\cdot4\cdot4=64\).
• \(0{,}008\): убираем запятую — \(8=2^3\), после запятой три знака → в ответе один знак: \(0{,}2^3\).
• \(-\frac1{64}=\left(-\frac14\right)^3\), потому что \(64=4^3\).

Про минус: куб отрицательного числа отрицательный:

\[ (-6)^3=(-6)\cdot(-6)\cdot(-6)=36\cdot(-6)=-216 \]

Поэтому \(-216=(-6)^3\).

Смешанное число снова переводим:

\[ 4\frac{17}{27}=\frac{125}{27}=\left(\frac53\right)^3 \]

5. Степень десяти: просто считаем нули

\[ 1000=10^3 \]

Три нуля — степень \(3\). Значит:

\[ 10=10^1,\quad 100=10^2,\quad 1\,000\,000=10^6 \]

6. Степень пяти: та же таблица

\[ 5^1=5,\quad 5^2=25,\quad 5^3=125,\quad 5^4=625,\quad 5^5=3125,\quad 5^6=15625 \]

Поэтому \(125=5^3\), а \(625=5^4\).

---

Проверь себя

Представь в виде квадрата или куба:

1. \(0{,}49\)
2. \(81\)
3. \(27\)
4. \(10\,000\)

Подсказка: в 1-м и 2-м ищи квадрат, в 3-м — куб, в 4-м считай нули.

Напиши свои ответы — проверю и скажу, где сбился.

Конечно! Вот тренировка по той же теме. Пиши ответы — проверю.

1. Представь в виде квадрата:

1. \(0{,}49\)
2. \(121\)
3. \(\frac{9}{25}\)

2. Представь в виде куба: 4) \(27\) 5) \(0{,}001\) 6) \(-\frac{8}{125}\)

3. Представь в виде степени десяти: 7) \(10\,000\)

4. Представь в виде степени пяти: 8) \(3125\)

Можно отвечать не по порядку — просто пиши номер и ответ. Если где-то застрянешь, скажи номер, и разберём вместе.

Без проблем — давай сделаем первый вместе, медленно.

1) \(0{,}49\)

1. Убираем запятую: \(49\).
2. Вспоминаем: \(7\cdot7=49\). Значит, \(49=7^2\).
3. После запятой два знака — в ответе один знак.

\[ 0{,}49=0{,}7^2 \]

Проверка: \(0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49\). Сходится.

4) \(27\)

1. Пробуем умножить число само на себя три раза.
2. \(3\cdot3=9\), а \(9\cdot3=27\).

\[ 27=3^3 \]

Всё, это и есть ответ.

---

Теперь твоя очередь — самое простое из списка:

5) \(0{,}001\)

Подсказка: убери запятую — получится \(1\). А \(1=1\cdot1\cdot1\). Значит, ответ вида \(0{,}1^3\)? Проверь умножением и напиши, что получилось.

Если хочешь, скажи номер задания, которое непонятно, — разберём именно его.

Понимаю, тема непростая — столько всего сразу. Давай совсем маленько: возьми только \(0{,}49\).

Там два действия: убрать запятую → \(49\); вспомнить, что \(7\cdot7=49\).

Скажи мне: \(7\cdot7\) сколько будет?

Верно! \(7\cdot7=49\), значит \(49=7^2\).

Теперь последний шаг для \(0{,}49\): после запятой два знака, поэтому в основании один знак:

\[ 0{,}49=0{,}7^2 \]

Проверим умножением: \(0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49\). Сошлось.

---

Следующее, тоже по шагам:

2) \(121\)

1. Какое число умножить само на себя, чтобы получить \(121\)? Начни с \(10\cdot10=100\) — мало. Попробуй \(11\cdot11\).
2. Напиши, сколько получилось.

Только этот шаг — дальше пойдём по списку.

Задание 398. Ответы:

а) \(6{,}25\)
б) \(56{,}25\)
в) \(1\,000\,000\)
г) \(-1\,000\,000\)
д) \(500\)
е) \(-40\)
ж) \(-240\)
з) \(-2{,}7\)

Как считали

а)
\[ 9\cdot\left(\frac56\right)^2 =9\cdot\frac{25}{36} =\frac{25}{4}=6{,}25 \]

б) Здесь в квадрате всё произведение:
\[ \left(9\cdot\frac56\right)^2 =\left(\frac{15}{2}\right)^2 =\frac{225}{4}=56{,}25 \]

в), г) Главная ловушка — скобки:
\[ (-10)^6=10^6=1\,000\,000 \] \[ -10^6=-(10^6)=-1\,000\,000 \] Если минус в скобках, он возводится в степень; если минуса в скобках нет, он остаётся перед результатом.

д)
\[ 4\cdot5^3=4\cdot125=500 \]

е)
\[ -5\cdot2^3=-5\cdot8=-40 \]

ж) Сначала степень, потом умножение:
\[ -2^4\cdot15=-(2^4)\cdot15=-16\cdot15=-240 \]

з)
\[ 2700\cdot(-0{,}1)^3 =2700\cdot(-0{,}001) =-2{,}7 \]

Правило: сначала выполняем степень, потом умножение. Если минус стоит без скобок, он не входит в степень.

По переписке оценку не определить: я не вижу твоих контрольных, домашних и требований учителя. Видно только, что ты разбираешься постепенно и уже правильно считаешь отдельные шаги.

Хочешь, проверим несколько заданий подряд — так будет понятнее, что уже получается, а что стоит подтянуть.

Отлично. Вот небольшая проверочная — 5 заданий, как в твоих номерах. Решай по шагам, не спеши.

1. Найди значение \(ax-3y\) при \(a=10,\ x=\frac35,\ y=-\frac13\).

2. Вычисли: а) \((-3)^2\) б) \(-3^2\)

3. Вычисли \(\left(\frac23\right)^3\).

4. Представь \(0{,}0009\) в виде квадрата.

5. Вычисли \(2\cdot5^3-(-2)^3\).

Пиши ответы с номерами. Где застрянешь — просто скажи номер, и разберём этот шаг. Проверю все сразу и скажу, что уже получается.

Честно: полностью правильный ответ у тебя один — в задании 2б (\(-3^2=-9\)). Это как раз самая частая ловушка, и ты её прошёл. Остальное — ошибки, но все они одного типа, и их видно. Разберём.

1. Потерялся множитель

\[ ax-3y=10\cdot\frac35-3\cdot\left(-\frac13\right) \]

Ты написал \(-(-\frac13)\), а там \(3\cdot(-\frac13)\), то есть \(-1\). Считаем:

\[ 10\cdot\frac35=6,\qquad -(-1)=+1,\qquad 6+1=7 \]

Ответ: 7. Было почти правильно — просто выпала тройка из \(3y\).

2. Скобки решают

а) \((-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9\) — у тебя \(-9\).
б) \(-3^2=-(3\cdot3)=-9\) — верно!

Правило простыми словами: минус внутри скобок участвует в умножении, и минус на минус даёт плюс. Минус без скобок стоит в стороне и в степень не идёт.

3. Дробь в степень — оба этажа

\[ \left(\frac23\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27} \]

У тебя \(\frac{14}{27}\) — похоже, перемножил \(2\cdot2\cdot3\) или что-то в этом роде. В степень возводим и числитель, и знаменатель отдельно: \(2\cdot2\cdot2=8\), \(3\cdot3\cdot3=27\).

4. \(0{,}0009\)

Убираем запятую — получаем \(9=3^2\). После запятой четыре знака → в основании их два:

\[ 0{,}0009=0{,}03^2 \]

Проверка: \(0{,}03\cdot0{,}03=0{,}0009\).

5. Ты не стал решать — вот как это делается

\[ 2\cdot5^3-(-2)^3=2\cdot125-(-8)=250+8=258 \]

Сначала степени, потом умножение, потом вычитание. И снова: \((-2)^3=-8\), потому что минус в скобках, а куб отрицательного — отрицательный.

---

Про оценку: по этой проверке — примерно между «2» и «3», потому что из пяти заданий уверенно одно. Но это не приговор: ошибки не разные, а одна и та же — минус в скобках и степень. Такое лечится за пару тренировок.

Хочешь, дам короткую серию ровно на это: минус в скобках, дробь в степень, десятичная дробь в квадрат? Штук пять, по одному принципу.

Значит, в реальности дела лучше, чем по одной проверке — и это хорошо. Четвёрка — крепкий результат.

Но ошибки из проверки всё равно стоит закрыть, чтобы на контрольной не потерять баллы на ровном месте. Смотри, слабое место одно: минус в скобках и степень.

Вот три правила, которые решают почти всё:

1. \((-3)^2=9\), но \(-3^2=-9\) — скобки решают.
2. Дробь в степень: \(\left(\frac23\right)^3=\frac{8}{27}\) — возводим и верх, и низ.
3. \(0{,}0009=0{,}03^2\) — сколько знаков после запятой в числе, столько в квадрате вдвое меньше.

Хочешь мини-тренировку на 5 заданий ровно на эти правила? Скажи «да» — пришлю.

Задание 528. Ответ:

а) \(54 = 2 \cdot 3^3\)
б) \(144 = 2^4 \cdot 3^2\)
в) \(225 = 3^2 \cdot 5^2\)
г) \(500 = 2^2 \cdot 5^3\)

Как это делать

Раскладываем число на простые множители (делим на 2, 3, 5 и т.д., пока не получим 1), а затем группируем одинаковые множители в степени.

а) 54
\(54 : 2 = 27\)
\(27 : 3 = 9\)
\(9 : 3 = 3\)
\(3 : 3 = 1\)
Двойка встретилась 1 раз, тройка — 3 раза.
\[ 54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^3 \]

б) 144
\(144 : 2 = 72\)
\(72 : 2 = 36\)
\(36 : 2 = 18\)
\(18 : 2 = 9\)
\(9 : 3 = 3\)
\(3 : 3 = 1\)
Двойка — 4 раза, тройка — 2 раза.
\[ 144 = 2^4 \cdot 3^2 \]

в) 225
\(225 : 3 = 75\)
\(75 : 3 = 25\)
\(25 : 5 = 5\)
\(5 : 5 = 1\)
Тройка — 2 раза, пятерка — 2 раза.
\[ 225 = 3^2 \cdot 5^2 \]

г) 500
\(500 : 2 = 250\)
\(250 : 2 = 125\)
\(125 : 5 = 25\)
\(25 : 5 = 5\)
\(5 : 5 = 1\)
Двойка — 2 раза, пятерка — 3 раза.
\[ 500 = 2^2 \cdot 5^3 \]

Проверка для б): \(2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144\). Всё верно.