Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
Как решать
Уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где
\(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
Способ 1. Разложение на множители.
Ищем два числа, которые:
- в сумме дают \(5\) (с учётом знака: \(-(-5)=5\));
- в произведении дают \(6\).
Это числа \(2\) и \(3\). Поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \] откуда \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Проверка по теореме Виета: \[ x_1+x_2=2+3=5, \] \[ x_1x_2=2\cdot 3=6. \] Это совпадает с коэффициентами уравнения: сумма корней равна \(5\), произведение равно \(6\). Значит, корни найдены верно.
Коротко: если уравнение приведённое, ищите два числа с нужными суммой и произведением — это часто быстрее, чем считать через дискриминант.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко
\(x\) — это то самое неизвестное число, которое мы ищем. В скобках оно никуда не девается: мы же ещё не знаем, чему оно равно. Скобка \((x-2)\) читается как «неизвестное число минус два» — значение этой скобки зависит от \(x\).
Откуда берутся скобки: проверяем умножением
Раскроем \((x-2)(x-3)\) по правилу «каждое на каждое»:
\[ (x-2)(x-3)=x\cdot x + x\cdot(-3) + (-2)\cdot x + (-2)\cdot(-3) \]
Считаем каждое слагаемое:
- \(x\cdot x = x^2\)
- \(x\cdot(-3) = -3x\)
- \((-2)\cdot x = -2x\)
- \((-2)\cdot(-3) = 6\)
Складываем:
\[ x^2-3x-2x+6 = x^2-5x+6 \]
Получилось ровно левая часть исходного уравнения. Значит, запись \((x-2)(x-3)\) — это та же самая левая часть, только в виде произведения. \(x\) в ней остался на месте, просто «спрятался» внутри скобок.
Почему теперь видно ответ
Уравнение стало таким:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Это произведение двух чисел. Произведение равно нулю только в одном случае: хотя бы один множитель равен нулю (если оба не нули, то и произведение не ноль).
Значит, возможны два варианта:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \] \[ x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \]
Проверка подстановкой
Берём \(x=2\):
\[ (2-2)(2-3)=0\cdot(-1)=0 \quad \text{— верно} \]
Берём \(x=3\):
\[ (3-2)(3-3)=1\cdot 0=0 \quad \text{— верно} \]
А, например, \(x=5\) не подойдёт:
\[ (5-2)(5-3)=3\cdot 2=6\ne 0 \]
Главная мысль
Скобка \((x-2)\) — это «расстояние» от неизвестного числа до двойки, только с учётом знака. Мы подобрали такие скобки, чтобы при умножении получилось исходное выражение. А дальше пользуемся простым правилом: произведение равно нулю — значит, одна из скобок равна нулю. Так и находятся корни, без дискриминанта.
Хочешь, разберём ещё один пример этим же способом, например \(x^2-7x+12=0\)?
