Реши задание на изображении

Краткие ответы

Первое фото: 3. \(2{,}4\) 4. \(112^\circ\) 5. в \(3{,}5\) раза 6. \(20\)

Второе фото: 7. \(10\) 8. \(16\)

Задачи на повторение:

1. \(\sqrt{7}\)
2. \(7\sqrt[3]{7}\)
3. \(\dfrac{9}{5^{3/8}}\) (или \(\dfrac{9}{\sqrt[8]{125}}\))

Как решать

3. Тангенс угла при основании

Треугольник \(ABC\) равнобедренный: \(AB=BC=26\), основание \(AC=20\).
Проведём высоту \(BH\) к \(AC\). Она делит основание пополам: \[ AH=\frac{20}{2}=10. \] По теореме Пифагора: \[ BH=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=24. \] В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \[ \tan \angle BAC=\frac{BH}{AH}=\frac{24}{10}=2{,}4. \]

4. Угол между радиусами

Центр \(O\) вписанной окружности лежит на биссектрисе угла \(C\). Радиусы \(OA\) и \(OB\) перпендикулярны сторонам угла, поэтому \(\angle OAC=\angle OBC=90^\circ\).
Сумма углов четырёхугольника \(CAOB\): \[ 68^\circ+90^\circ+90^\circ+\angle AOB=360^\circ, \] откуда \[ \angle AOB=112^\circ. \]

5. Отношение площадей

У треугольников \(MBK\) и \(ABC\) общий угол \(B\). Площади относятся как произведение отношений сторон, выходящих из этого угла: \[ \frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{AB}\cdot\frac{BK}{BC} =\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{7}=\frac{2}{7}. \] Значит, \[ \frac{S_{ABC}}{S_{MBK}}=\frac{7}{2}=3{,}5. \] Ответ: в \(3{,}5\) раза.

6. Теорема синусов

\[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}. \] \(\sin C=\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому \[ AB=\frac{AC\cdot \sin C}{\sin B} =\frac{12\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac35} =20. \]

7. Высоты параллелограмма

Площадь параллелограмма: \[ S=15\cdot 12=180. \] Та же площадь через большую сторону: \[ 18\cdot h=180 \quad\Rightarrow\quad h=10. \]

8. Площадь треугольника в трапеции

Площадь трапеции: \[ 44=\frac{7+4}{2}\cdot h \quad\Rightarrow\quad 44=5{,}5h \quad\Rightarrow\quad h=8. \] Треугольник \(ABC\) имеет основание \(BC=4\) и высоту \(h=8\): \[ S_{ABC}=\frac12\cdot 4\cdot 8=16. \]

Повторение 1

\[ \frac{\sqrt7\cdot\sqrt7}{\sqrt7}=\frac{7}{\sqrt7}=\sqrt7. \]

Повторение 2

\[ \sqrt[3]{49}\cdot\sqrt[3]{49} =\sqrt[3]{49^2} =\sqrt[3]{7^4} =7\sqrt[3]{7}. \]

Повторение 3

\[ \frac{\sqrt{81\sqrt[4]{b}}}{b^{1/4}\sqrt[4]{b}}. \] Считаем: \[ \sqrt{81\sqrt[4]{b}}=9b^{1/8}, \qquad b^{1/4}\sqrt[4]{b}=b^{1/4}\cdot b^{1/4}=b^{1/2}. \] Тогда \[ \frac{9b^{1/8}}{b^{1/2}}=9b^{-3/8}. \] При \(b=5\): \[ 9\cdot 5^{-3/8}=\frac{9}{5^{3/8}}=\frac{9}{\sqrt[8]{125}}. \]

Если в числителе под корнем стоит \(b^4\), то выражение упрощается до \(9\). Судя по фото, там просто \(b\), поэтому ответ выше.