номер 94

Таблицу видно — теперь понятно, какие свойства даны. Строки означают:

• 1.1 — область определения; 1.2 — область значений;
• 2.1 — чётность/нечётность; 2.2 — наименьший положительный период;
• 3.1 — нули; 3.2 — точка пересечения с осью \(Oy\);
• 4.1 / 4.2 — промежутки знакопостоянства (где \(f>0\) и где \(f<0\));
• 5.1 / 5.2 — промежутки возрастания и убывания;
• 6.1–6.4 — точки и значения минимумов и максимумов.

Как по таблице строить график:

1. Берём один период из строки 2.2.
2. Отмечаем нули (3.1) и точку на \(Oy\) (3.2).
3. По 5.1/5.2 смотрим, где график идёт вверх, а где вниз.
4. По 6.1–6.4 ставим «вершины волн» — минимумы и максимумы.
5. Соединяем плавной линией и повторяем через период; если функция нечётная — отражаем симметрично относительно начала координат.

Опорные точки для графиков:

• \(y=\sin x\) на \([0;2\pi]\): \((0;0)\), \((\pi/2;1)\), \((\pi;0)\), \((3\pi/2;-1)\), \((2\pi;0)\); нечётная, период \(2\pi\).
• \(y=\cos x\) на \([0;2\pi]\): \((0;1)\), \((\pi/2;0)\), \((\pi;-1)\), \((3\pi/2;0)\), \((2\pi;1)\); чётная, период \(2\pi\).
• \(y=\operatorname{tg} x\) на \((-\pi/2;\pi/2)\): \((-\pi/4;-1)\), \((0;0)\), \((\pi/4;1)\), вертикальные асимптоты \(x=\pm\pi/2\); период \(\pi\).
• \(y=\operatorname{ctg} x\) на \((0;\pi)\): \((\pi/4;1)\), \((\pi/2;0)\), \((3\pi/4;-1)\), асимптоты \(x=0\) и \(x=\pi\); период \(\pi\).

Если в №94 нужно построить график конкретной функции (например, только \(y=\sin x\) или функцию с коэффициентом), пришли полный текст №94 — покажу построение именно для неё.

Исследование функции \(f(x)=x^3-1\)

1. Область определения:
   \[ D(f)=\mathbb R \]

2. Область значений:
   \[ E(f)=\mathbb R \]

3. Чётность/нечётность:
   \[ f(-x)=-x^3-1 \] Это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\), поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

4. Периодичность: нет, функция непериодическая.

5. Нули функции:
   \[ x^3-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \] Точка пересечения с осью \(Ox\): \((1;0)\).

6. Пересечение с осью \(Oy\):
   \[ f(0)=-1 \] Точка \((0;-1)\).

7. Промежутки знакопостоянства:

   • \(f(x)<0\) при \(x<1\);
   • \(f(x)>0\) при \(x>1\);
   • \(f(1)=0\).

8. Производная: \[ f'(x)=3x^2\ge 0 \] Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой: \[ (-\infty;+\infty) \]

9. Экстремумы:
   Так как \(f'(x)\ge 0\) и меняет знак не происходит, точек экстремума нет.
   В точке \(x=0\): \[ f'(0)=0,\quad f(0)=-1 \] но это не максимум и не минимум, а точка перегиба.

10. Вторая производная: \[ f''(x)=6x \]

    • при \(x<0\): \(f''(x)<0\) — график выпуклый вверх;
    • при \(x>0\): \(f''(x)>0\) — график выпуклый вниз;
    • при \(x=0\): \(f''(0)=0\), происходит смена выпуклости.

    Значит, \((0;-1)\) — точка перегиба.

11. Асимптоты:
    Вертикальных и горизонтальных асимптот нет. Наклонных тоже нет, так как это многочлен третьей степени.

12. Поведение на бесконечности: \[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-1)=+\infty, \] \[ \lim_{x\to-\infty}(x^3-1)=-\infty. \]

Итог:
График функции \(f(x)=x^3-1\) получается из графика \(y=x^3\) сдвигом на \(1\) единицу вниз. Он проходит через точки: \[ (-1;-2),\quad (0;-1),\quad (1;0),\quad (2;7). \] Функция возрастает на всей области определения, экстремумов не имеет, в точке \((0;-1)\) — перегиб.

Оформление «как учитель»

№ 94. Пользуясь таблицей свойств функции (с. 55) и графиком \(y=x^3\), исследуйте функцию \(f(x)=x^3-1\) и постройте её график.

Решение. График функции \(f(x)=x^3-1\) получается из графика \(y=x^3\) сдвигом вдоль оси \(Oy\) на \(1\) единицу вниз (сдвиг не меняет ни возрастания, ни вида симметрии).

Заполняем таблицу:

1.1. \(D(f)=(-\infty;+\infty)\) — кубическая функция определена при всех \(x\).

1.2. \(E(f)=(-\infty;+\infty)\) — при сдвиге вниз область значений не меняется.

2.1. \(f(-x)=(-x)^3-1=-x^3-1\). Так как \(f(-x)\ne f(x)\) и \(f(-x)\ne -f(x)\), функция ни чётная, ни нечётная.

2.2. Функция непериодическая (периода нет).

3.1. Нули: \(x^3-1=0\), \(x^3=1\), \(x=1\). Нуль один: \(x=1\).

3.2. \(f(0)=0^3-1=-1\). Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;-1)\).

4.1. \(f(x)>0\) при \(x\in(1;+\infty)\).

4.2. \(f(x)<0\) при \(x\in(-\infty;1)\).

5.1. Функция возрастает на всей области определения: \((-\infty;+\infty)\) (так как \(y=x^3\) возрастает, а сдвиг вниз возрастание сохраняет).

5.2. Промежутков убывания нет.

6.1–6.4. Точек экстремума (максимума и минимума) нет; наибольшего и наименьшего значений нет.

Построение графика. Таблица значений:

Строим «кубическую параболу» по этим точкам: левая ветвь идёт из нижней части (при \(x\to-\infty\) график уходит вниз), проходит через \((0;-1)\), пересекает ось \(Ox\) в точке \((1;0)\) и уходит вверх. В точке \((0;-1)\) кривая меняет характер выпуклости, но остаётся возрастающей — это точка перегиба, а не экстремум.

Ответ: \(D(f)=E(f)=\mathbb{R}\); функция ни чётная, ни нечётная, непериодическая; нуль \(x=1\); \(f(0)=-1\); \(f(x)>0\) при \(x>1\), \(f(x)<0\) при \(x<1\); возрастает на \((-\infty;+\infty)\); экстремумов нет; график — кубическая парабола \(y=x^3\), сдвинутая на \(1\) единицу вниз.

Да, всё выше решено именно для \(f(x)=x^3-1\) — \(y=x^3\) здесь только как «образец» формы графика. Вот чистовой вариант без лишнего:

\(f(x)=x^3-1\)

Таблица значений для графика:

Построение: график — кубическая парабола, сдвинутая на \(1\) клетку вниз. Проходит через \((0;-1)\), пересекает ось \(Ox\) в точке \((1;0)\), слева уходит вниз, справа — вверх. В точке \((0;-1)\) — перегиб, но не экстремум: функция всюду возрастает.

Проверка: \(f(1)=0\) ✓, \(f(2)=8-1=7\) ✓, \(f(-1)=-2\) ✓ — таблица значений верна.

Вот решение \(g(x)=x^3-1\) по пунктам, как в примере из тетради.

\(g(x)=x^3-1\)

1) Область определения: \[ D(g)=(-\infty;+\infty) \]

2) Проверка на чётность/нечётность: \[ g(2)=2^3-1=7 \] \[ g(-2)=(-2)^3-1=-8-1=-9 \] \[ -g(2)=-7 \] Так как \[ g(-2)\ne g(2),\qquad g(-2)\ne -g(2), \] функция ни чётная, ни нечётная.

3) Таблица значений:

График — кубическая парабола \(y=x^3\), сдвинутая на \(1\) единицу вниз. Проводим плавную кривую через точки: \[ (-2;-9),\ (-1;-2),\ (0;-1),\ (1;0),\ (2;7). \]

4) Пересечение с осями:

• с осью \(Ox\): \(y=0\), \[ x^3-1=0 \Rightarrow x=1, \] точка \((1;0)\);
• с осью \(Oy\): \(x=0\), \[ y=-1, \] точка \((0;-1)\).

5) Промежутки знакопостоянства: \[ g(x)>0 \text{ при } x\in(1;+\infty), \] \[ g(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;1). \]

6) Функция возрастает на всей области определения: \[ (-\infty;+\infty). \] Промежутков убывания нет.

7) Точек экстремума нет: ни максимума, ни минимума.

8) Область значений: \[ E(g)=(-\infty;+\infty). \]

Ниже — чистовое решение именно для \(f(x)=x^3-1\) по тому же образцу.

Исследование функции \(f(x)=x^3-1\)

1. Область определения: \[ D(f)=(-\infty;+\infty) \]

2. Область значений: \[ E(f)=(-\infty;+\infty) \]

3. Чётность/нечётность: \[ f(-x)=(-x)^3-1=-x^3-1 \] Проверим по точкам: \[ f(2)=2^3-1=7, \] \[ f(-2)=(-2)^3-1=-8-1=-9, \] \[ -f(2)=-7. \] Так как \[ f(-2)\ne f(2),\qquad f(-2)\ne -f(2), \] функция ни чётная, ни нечётная.

4. Периодичность: функция непериодическая.

5. Таблица значений:

6. Пересечение с осями:

• с осью \(Ox\): \(f(x)=0\), \[ x^3-1=0 \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1, \] точка \((1;0)\);
• с осью \(Oy\): \(x=0\), \[ f(0)=0^3-1=-1, \] точка \((0;-1)\).

7. Промежутки знакопостоянства: \[ f(x)>0 \text{ при } x\in(1;+\infty), \] \[ f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;1). \] В точке \(x=1\) функция равна нулю.

8. Монотонность: Функция возрастает на всей области определения: \[ (-\infty;+\infty). \] Промежутков убывания нет.

9. Точки экстремума: Точек максимума и минимума нет.
В точке \((0;-1)\) график меняет характер выпуклости, но это не экстремум, а точка перегиба.

10. График: График функции \(f(x)=x^3-1\) получается из графика \(y=x^3\) сдвигом на \(1\) единицу вниз. Он проходит через точки: \[ (-2;-9),\quad (-1;-2),\quad (0;-1),\quad (1;0),\quad (2;7). \] Слева график уходит вниз, справа — вверх. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет.

Ответ:
\(D(f)=E(f)=\mathbb R\); функция ни чётная, ни нечётная, непериодическая; нуль функции \(x=1\); пересечение с осью \(Oy\) — \((0;-1)\); \(f(x)>0\) при \(x>1\), \(f(x)<0\) при \(x<1\); возрастает на \(\mathbb R\); экстремумов нет.

Вот решение по образцу из тетради. Если в тетради функция обозначена \(g(x)\), просто замени \(f\) на \(g\).

Исследование функции \(f(x)=x^3-1\)

1) Область определения: \[ D(f)=(-\infty;+\infty) \]

2) Проверка на чётность и нечётность: \[ f(2)=2^3-1=8-1=7 \] \[ f(-2)=(-2)^3-1=-8-1=-9 \] \[ -f(2)=-(8-1)=-7 \] Так как \[ f(-2)\ne f(2),\qquad f(-2)\ne -f(2), \] функция ни чётная, ни нечётная — функция общего вида.

3) Таблица значений:

4) Точки пересечения с осями:

• с осью \(Ox\): \(y=0\), \[ x^3-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1, \] точка \((1;0)\);
• с осью \(Oy\): \(x=0\), \[ y=-1, \] точка \((0;-1)\).

5) Промежутки знакопостоянства: \[ y>0 \text{ при } x\in(1;+\infty), \] \[ y<0 \text{ при } x\in(-\infty;1). \]

6) Функция возрастает на всей области определения: \[ (-\infty;+\infty). \] Промежутков убывания нет.

7) Экстремумов нет: точек максимума и минимума нет.

8) Область значений: \[ E(f)=(-\infty;+\infty) \]

График: это кубическая парабола \(y=x^3\), сдвинутая на \(1\) единицу вниз. Отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной линией. В точке \((0;-1)\) находится точка перегиба, но это не экстремум.

Исследование функции \(y=x^2-4x\) (по тому же образцу)

1) Область определения: \[ D(y)=(-\infty;+\infty) \]

2) Проверка на чётность и нечётность: \[ y(1)=1^2-4\cdot1=1-4=-3 \] \[ y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5 \] \[ -y(1)=-(-3)=3 \] Так как \[ y(-1)\ne y(1),\qquad y(-1)\ne -y(1), \] функция ни чётная, ни нечётная — функция общего вида.

3) Нули функции (\(y=0\)): \[ x^2-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-4)=0, \] \[ x=0 \text{ или } x=4. \] Точки пересечения с осью \(Ox\): \((0;0)\) и \((4;0)\).

4) Пересечение с осью \(Oy\) (\(x=0\)): \[ y=0, \] точка \((0;0)\).

5) Вершина параболы: \[ x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2, \] \[ y_0=2^2-4\cdot2=4-8=-4. \] Вершина — точка \((2;-4)\); ось симметрии \(x=2\).

6) Таблица значений:

7) Промежутки знакопостоянства: \[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty), \] \[ y<0 \text{ при } x\in(0;4), \] \[ y=0 \text{ при } x=0,\ x=4. \]

8) Промежутки монотонности:

• убывает на \((-\infty;2]\);
• возрастает на \([2;+\infty)\).

9) Точки экстремума: в точке \(x=2\) — минимум: \[ y_{\min}=-4 \text{ при } x=2. \] Точек максимума нет (ветви направлены вверх, так как \(a=1>0\)).

10) Область значений: \[ E(y)=[-4;+\infty) \]

График: парабола с ветвями вверх, вершина \((2;-4)\), проходит через \((0;0)\) и \((4;0)\). Строим по точкам таблицы и соединяем плавной симметричной линией относительно \(x=2\).

Ответ: \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[-4;+\infty)\); функция ни чётная, ни нечётная; нули \(x=0\) и \(x=4\); убывает на \((-\infty;2]\), возрастает на \([2;+\infty)\); \(y_{\min}=-4\) в точке \(x=2\).

\(f(x)=x^2-4x\)

1) Область определения: \[ D(f)=(-\infty;+\infty) \]

2) Проверка на чётность/нечётность: \[ f(2)=2^2-4\cdot2=4-8=-4 \] \[ f(-2)=(-2)^2-4\cdot(-2)=4+8=12 \] \[ -f(2)=-(-4)=4 \] Так как \[ f(-2)\ne f(2),\qquad f(-2)\ne -f(2), \] функция общего вида — ни чётная, ни нечётная.

3) Таблица значений:

4) Точки пересечения с осями:

• с осью \(Ox\): \(y=0\): \[ x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x=0,\ x=4 \] Точки: \((0;0)\), \((4;0)\).

• с осью \(Oy\): \(x=0\): \[ y=0 \] Точка: \((0;0)\).

5) Промежутки знакопостоянства: \[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty) \] \[ y<0 \text{ при } x\in(0;4) \] \[ y=0 \text{ при } x=0,\ x=4 \]

6) Промежутки монотонности:

• убывает на \((-\infty;2]\);
• возрастает на \([2;+\infty)\).

7) Экстремумы: \[ x_{\min}=2,\qquad y_{\min}=f(2)=-4 \] Точек максимума нет.

8) Область значений: \[ E(f)=[-4;+\infty) \]

График: парабола, ветви направлены вверх. Вершина — точка \((2;-4)\), ось симметрии \(x=2\). Проходит через точки: \[ (-1;5),\ (0;0),\ (1;-3),\ (2;-4),\ (3;-3),\ (4;0),\ (5;5). \]

Для функции \(y=x^2-4x\) правильно так:

\[ y'=2x-4=2(x-2),\qquad y'=0 \text{ при } x=2. \]

Производная меняет знак с «\(-\)» на «\(+\)», значит:

• точка минимума: \(x_{\min}=2\);
• минимум функции: \(y_{\min}=y(2)=2^2-4\cdot2=-4\);
• точка на графике: \((2;-4)\);
• точек максимума нет;
• точек экстремума: \(x=2\) (только минимум).

Важно: если учитель просит «точки экстремума», обычно записывают \(x=2\). Если просит координаты — \((2;-4)\).

Для \(f(x)=x^3-1\) экстремумов нет: \((0;-1)\) — это точка перегиба, а не минимум и не максимум.

Пиши в таком порядке:

1. Производная: \(y'=2x-4\).
2. Нули производной: \(2x-4=0 \Rightarrow x=2\).
3. Проверка знака: слева \(y'<0\), справа \(y'>0\) — значит, это минимум.
4. Вывод: \[ x_{\min}=2,\qquad y_{\min}=-4, \] \[ \text{точка минимума: }(2;-4). \] Точек максимума нет.

Если заполняешь таблицу по пунктам 6.1–6.4, то порядок такой:

• 6.1 — \(x_{\min}=2\);
• 6.2 — \(y_{\min}=-4\);
• 6.3 — \(x_{\max}\) — нет;
• 6.4 — \(y_{\max}\) — нет.

То есть сначала всегда пишут \(x\), потом \(y\), а координату точки записывают в виде \((x;y)\).

Строю график для последней функции \(y=x^2-4x\) (если нужен \(y=x^3-1\) — скажи, нарисую отдельно).

Таблица точек (уже проверена):

Схема графика (клетка = 1 единица):

 y
 5 ┤  ●   │   │   │   │   │   ●
 4 ┤  ·   │   │   │   │   │   ·
 3 ┤  ·   │   │   │   │   │   ·
 2 ┤  ·   │   │   │   │   │   ·
 1 ┤  ·   │   │   │   │   │   ·
 0 ┼──●───┼───┼───┼───┼───●───┼──→ x
-1 ┤  ·   │   │   │   │   │   ·
-2 ┤  ·   │   │   │   │   │   ·
-3 ┤  ·   │   ●   │   ●   │   ·
-4 ┤  ·   │   │   ●   │   │   ·
      -1   0   1   2   3   4   5

Как строить в тетради:

1. Проведи оси \(Ox\) и \(Oy\), возьми масштаб 1 клетка = 1 единица.
2. Отметь вершину \((2;-4)\) — самая нижняя точка.
3. Отметь нули параболы: \((0;0)\) и \((4;0)\) — здесь график пересекает ось \(Ox\).
4. Поставь симметричные точки: \((1;-3)\) и \((3;-3)\), \((-1;5)\) и \((5;5)\) — они находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии \(x=2\).
5. Соедини точки плавной линией: ветви направлены вверх, слева график идёт из бесконечности вниз к вершине \((2;-4)\), справа — поднимается вверх.

Проверка по графику: \(y_{\min}=-4\) при \(x=2\) ✓, нули \(x=0\) и \(x=4\) ✓, при \(x\in(0;4)\) график ниже оси \(Ox\) ✓.