Реши задание на изображении
Қысқа жауап: 1 — в, 2 — а, 3 — г, 4 — д.
Шешу жолы
\(y=3x+9\) функциясының мәні оң болуы керек: \[ 3x+9>0 \Rightarrow 3x>-9 \Rightarrow x>-3. \] \(-3\) қосылмайды, өйткені \(x=-3\) болғанда \(y=0\), ал 0 оң емес.
Жауабы: \((-3;+\infty)\) — в.Функцияның нөлі — \(y=0\) болатын \(x\). Бөлшек нөлге тең болу үшін алымы нөлге тең болуы керек: \[ -0{,}4x+2=0 \Rightarrow x=5. \] Тексеру: бөлімі \(0{,}5\cdot5+2=4{,}5\ne0\).
Жауабы: 5 — а.Бөлім нөлге тең болмауы керек: \[ x^2+3x\ne0 \Rightarrow x(x+3)\ne0. \] Сондықтан \(x\ne0\), \(x\ne-3\).
Жауабы: г.Графиктің \(Ox\) осіне проекциясын қараймыз. Сол жақта график \(x=-1\)-ге ұмтылады, бірақ ол нүктеде анықталмаған, сондықтан \(-1\) қосылмайды. Оң жақта график \(x=3\)-ке дейін жетеді, 3 қосылады: \[ (-1;3]. \] Жауабы: д.
Есте сақта: бөлшек функцияның нөлдерін табу үшін алымын 0-ге теңестіреміз; анықталу облысын табу үшін бөлімін 0-ге теңестірмейміз. Графиктен облыс — оның \(Ox\) осіне проекциясы, ашық және жабық нүктелерді ажыратамыз.
Обсуждение
4 сообщенияКвадрат түбірлі функцияның анықталу облысын қарастырайық.
Квадрат түбірлі функцияның анықталу облысы
Негізгі ереже: түбір астындағы өрнек теріс болмауы керек: \[ \sqrt{f(x)} \text{ анықталған} \iff f(x)\ge 0. \] Себебі нақты сандарда теріс саннан квадрат түбір алынбайды. Түбірдің мәні 0 болуы мүмкін (мысалы, \(\sqrt{0}=0\)), сондықтан теңдік қосылады.
1. Қарапайым жағдай
Мысал: \(y=\sqrt{x-4}\)
\[ x-4\ge0 \Rightarrow x\ge4, \quad D(y)=[4;+\infty). \]
Графигі — оң жаққа жылжыған «жарты парабола», ол \(x=4\) нүктесінен басталады (бұл нүкте қосылады).
Салыстыр 1-тапсырмамен: онда шарт \(3x+9>0\) болды, өйткені функцияның мәні оң болуы талап етілді. Ал мұнда тек анықталуы керек, сондықтан \(3x+9\ge0\), яғни \(x\ge-3\): \[ y=\sqrt{3x+9},\quad D(y)=[-3;+\infty). \] Айырмашылық: «мәні оң» → \(>\), «анықталған» → \(\ge\).
2. Түбір астында квадраттық өрнек
Мысал: \(y=\sqrt{x^2-9}\)
\[ x^2-9\ge0 \Rightarrow (x-3)(x+3)\ge0. \] Парабола тармақтары жоғары, сондықтан «\(\ge0\)» таңбасы тамырлардан тыс аймақта орындалады: \[ D(y)=(-\infty;-3]\cup[3;+\infty). \]
3. Бөлімде түбір тұрса
Мысал: \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\)
Бұл жерде екі шарт қатар жұмыс істейді: түбір анықталуы керек және бөлім нөлге тең болмауы керек. Яғни \(\sqrt{x-2}\ne0\), сондықтан теңсіздік қатаң: \[ x-2>0 \Rightarrow x>2, \quad D(y)=(2;+\infty). \]
4. Түбір де, бөлшек те бар болса
Мысал: \(y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-5}\)
\[ \begin{cases} x-2\ge0,\\ x-5\ne0 \end{cases} \Rightarrow x\ge2,\ x\ne5. \] \[ D(y)=[2;5)\cup(5;+\infty). \]
Қорытынды кесте
| Функция түрі | Шарт | Шектік нүкте |
|---|---|---|
| \(\sqrt{f(x)}\) | \(f(x)\ge0\) | қосылады |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}\) | \(f(x)>0\) | қосылмайды |
| \(\dfrac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}\) | \(f(x)\ge0,\ g(x)\ne0\) | түбір шегі қосылады, \(g\) нөлі — жоқ |
Жалпы алгоритм:
- Түбір астындағы өрнекке \(\ge0\) таңбасын қоямыз (бөлімде тұрса — \(>0\)).
- Бөлім болса, оны \(0\)-ге теңестіріп, шыққан нүктелерді шешімнен алып тастаймыз.
- Шыққан аралықтарды біріктіріп жазамыз.
Өзіңді тексер: \(y=\sqrt{5-x}+\dfrac{1}{x+1}\) функциясының анықталу облысын тап.
Келесі тапсырмаңды жіберсең, осы алгоритммен бірге шығарамыз.
Кыргызча жазчы
Квадраттык тамырлуу функциянын аныктоо областы
Негизги эреже: тамырдын астындагы туюнтма терс болбошу керек: \[ \sqrt{f(x)} \text{ аныкталат} \iff f(x)\ge 0. \] Себеби чыныгы сандарда терс сандан квадраттык тамыр алынбайт. Ал эми тамырдын мааниси нөлгө барабар болушу мүмкүн (\(\sqrt{0}=0\)), ошондуктан барабардык кошулат.
1. Жөнөкөй учур
Мисал: \(y=\sqrt{x-4}\)
\[ x-4\ge 0 \Rightarrow x\ge 4,\qquad D(y)=[4;+\infty). \]
Графиги — оң жакка жылган «жарым парабола», ал \(x=4\) чекитинен башталат (бул чекит кошулат).
Салыштыр 1-тапшырма менен: анда шарт \(3x+9>0\) болгон, себеби функциянын мааниси оң болушу талап кылынган. Ал эми бул жерде функциянын аныкталышы гана керек, ошондуктан \(3x+9\ge 0\), башкача айтканда \(x\ge -3\): \[ y=\sqrt{3x+9},\qquad D(y)=[-3;+\infty). \] Айырма: «мааниси оң» → \(>\), «аныкталат» → \(\ge\).
2. Тамырдын астында квадраттык туюнтма
Мисал: \(y=\sqrt{x^2-9}\)
\[ x^2-9\ge 0 \Rightarrow (x-3)(x+3)\ge 0. \] Параболанын бутактары жогору багытталган, ошондуктан «\(\ge 0\)» белгиси тамырлардан тыш аймакта аткарылат: \[ D(y)=(-\infty;-3]\cup[3;+\infty). \]
3. Тамыр бөлүүчүдө турса
Мисал: \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\)
Бул жерде эки шарт катар аткарылат: тамыр аныкталышы керек жана бөлүүчү нөлгө барабар болбошу керек. Башкача айтканда \(\sqrt{x-2}\ne 0\), ошондуктан барабарсыздык катуу: \[ x-2>0 \Rightarrow x>2,\qquad D(y)=(2;+\infty). \]
4. Тамыр да, бөлчөк да болсо
Мисал: \(y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-5}\)
\[ \begin{cases} x-2\ge 0,\\ x-5\ne 0 \end{cases} \Rightarrow x\ge 2,\ x\ne 5. \] \[ D(y)=[2;5)\cup(5;+\infty). \]
Жыйынтыктоочу таблица
| Функциянын түрү | Шарт | Чектик чекит |
|---|---|---|
| \(\sqrt{f(x)}\) | \(f(x)\ge 0\) | кошулат |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}\) | \(f(x)>0\) | кошулбайт |
| \(\dfrac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}\) | \(f(x)\ge 0,\ g(x)\ne 0\) | тамырдын чеги кошулат, \(g\) нөлү — жок |
Жалпы алгоритм:
- Тамырдын астындагы туюнтмага \(\ge 0\) белгисин коёбуз (бөлүүчүдө турса — \(>0\)).
- Бөлүүчү болсо, аны \(0\)гө барабарлап, чыккан чекиттерди чыгарылыштан алып салабыз.
- Чыккан аралыктарды бириктирип жазабыз.
Өзүңдү текшер: \(y=\sqrt{5-x}+\dfrac{1}{x+1}\) функциясынын аныктоо областын тап.
Кийинки тапшырмаңды жиберсең, ушул алгоритм менен чогуу чыгарабыз.
