Реши весь третий столбик
Краткий ответ (третий столбик — номера 1.5, 1.6, …, 7.6):
| № | Ответ |
|---|---|
| 1.5 | \(25\) |
| 1.6 | \(2\) |
| 2.5 | \(-10\) |
| 2.6 | \(-29\) |
| 3.5 | \(6\) |
| 3.6 | \(11\) |
| 4.5 | \(27\) |
| 4.6 | \(4\) |
| 5.5 | \(22\) |
| 5.6 | \(-16\) |
| 6.5 | \(92\) |
| 6.6 | \(-80\) |
| 7.5 | \(-33\) |
| 7.6 | \(45\) |
Как решаются такие задания
1) Номера 1.5–1.6 — формула двойного угла \[ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \] Поэтому \[ \frac{50\sin179^\circ\cos179^\circ}{\sin358^\circ} = \frac{25\sin358^\circ}{\sin358^\circ}=25. \] Аналогично: \[ \frac{4\sin112^\circ\cos112^\circ}{\sin224^\circ} = \frac{2\sin224^\circ}{\sin224^\circ}=2. \]
2) Номера 2.5–2.6 — формула косинуса двойного угла \[ \sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha. \] Значит: \[ \frac{10(\sin^259^\circ-\cos^259^\circ)}{\cos118^\circ} = \frac{10(-\cos118^\circ)}{\cos118^\circ}=-10. \] \[ \frac{29(\sin^230^\circ-\cos^230^\circ)}{\cos60^\circ} = \frac{29(-\cos60^\circ)}{\cos60^\circ}=-29. \]
3) Номера 3.5–3.6 — формула приведения \[ \cos59^\circ=\sin31^\circ,\qquad \cos77^\circ=\sin13^\circ. \] Поэтому: \[ \frac{6\cos59^\circ}{\sin31^\circ}=6,\qquad \frac{11\cos77^\circ}{\sin13^\circ}=11. \]
4) Номера 4.5–4.6 — табличные значения \[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac1{\sqrt3},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac12. \] \[ 54\sqrt3\cdot\frac1{\sqrt3}\cdot\frac12=27, \] \[ 8\sqrt3\cdot\frac1{\sqrt3}\cdot\frac12=4. \]
5) Номера 5.5–5.6 \[ \sqrt2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1. \] Тогда: \[ 44\cdot1\cdot\cos\frac{5\pi}{3} =44\cdot\frac12=22. \] \[ 32\cdot1\cdot\cos\frac{2\pi}{3} =32\cdot\left(-\frac12\right)=-16. \]
6) Номера 6.5–6.6 — период синуса и косинуса равен \(2\pi\)
6.5: \[ \sin\left(-\frac{27\pi}{4}\right) =\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}, \] \[ \cos\frac{35\pi}{4} =\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. \] \[ \frac{46}{\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)} = \frac{46}{\frac12}=92. \]
6.6: \[ \sin\left(-\frac{32\pi}{3}\right) =\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}, \] \[ \cos\frac{25\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}. \] \[ \frac{60}{\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)} = \frac{60}{-\frac34}=-80. \]
7) Номера 7.5–7.6 — период \(360^\circ\) \[ \cos495^\circ=\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}, \] \[ 33\sqrt2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-33. \] \[ \cos225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}, \] \[ -45\sqrt2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=45. \]
Проверка знаков: отрицательные ответы в 2.5, 2.6, 5.6, 6.6, 7.5 получаются закономерно — из-за знака косинуса двойного угла или положения угла во II/III четверти.
Обсуждение
4 сообщенияРаспиши пятый номер
Как в шестом номере 6.6 из 25 получился корень три?
Пятый номер подробно
5.5 — \(44\sqrt2\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{5\pi}{3}\)
Шаг 1. Табличные значения.
\[ \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos\frac{5\pi}{3}=\frac12 . \]
Второе значение получаем через приведение: \(\frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3}\), а косинус периода \(2\pi\) не чувствует, поэтому
\[ \cos\frac{5\pi}{3}=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12 . \]
Шаг 2. Упрощаем множитель с корнем.
\[ \sqrt2\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2}{2}=1 . \]
Шаг 3. Подставляем.
\[ 44\cdot\underbrace{\sqrt2\cos\frac{\pi}{4}}_{=1}\cdot\cos\frac{5\pi}{3} =44\cdot1\cdot\frac12=22 . \]
Ответ: \(22\).
5.6 — \(32\sqrt2\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{2\pi}{3}\)
Множитель \(\sqrt2\cos\frac{\pi}{4}=1\) — тот же.
\[ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12 \]
(угол \(120^\circ\) во II четверти, косинус отрицательный, опорный угол \(60^\circ\)).
\[ 32\cdot1\cdot\left(-\frac12\right)=-16 . \]
Ответ: \(-16\).
Главная идея номера: сначала «схлопнуть» \(\sqrt2\cos\frac{\pi}{4}\) в единицу, а потом просто умножить на табличный косинус — с учётом знака по четверти.
6.6: откуда \(\sqrt3/2\), если в условии \(25\pi/6\)
Число \(25\) никуда «не превращается» — мы отбрасываем целое число полных оборотов, потому что период косинуса равен \(2\pi\).
\[ \frac{25\pi}{6}=\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=4\pi+\frac{\pi}{6}. \]
А \(4\pi=2\cdot 2\pi\) — это ровно два полных оборота. Значит
\[ \cos\frac{25\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Деление с остатком: \(25=6\cdot4+1\), то есть \(4\) целых \(\pi\) (два периода) и остаток \(\pi/6\).
Можно проверить «вычитанием периода»:
\[ \frac{25\pi}{6}-2\pi=\frac{13\pi}{6},\qquad \frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{\pi}{6}. \]
Та же логика для синуса в 6.6
\[ -\frac{32\pi}{3}+2\pi=-\frac{26\pi}{3}\to-\frac{20\pi}{3}\to-\frac{14\pi}{3}\to-\frac{8\pi}{3}\to-\frac{2\pi}{3}. \]
Дальше используем нечётность синуса:
\[ \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin\frac{2\pi}{3}=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}. \]
Собираем 6.6 целиком
\[ \sin\left(-\frac{32\pi}{3}\right)\cdot\cos\frac{25\pi}{6} =\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2} =-\frac{3}{4}. \]
\[ \frac{60}{-\frac34}=60\cdot\left(-\frac43\right)=-80 . \]
Ответ: \(-80\).
Правило на будущее: чтобы посчитать \(\cos\frac{m\pi}{n}\) или \(\sin\frac{m\pi}{n}\), вычитай (или прибавляй) \(2\pi=\frac{2n\pi}{n}\) столько раз, пока числитель не станет удобным — обычно достаточно, чтобы остаток от деления \(m\) на \(n\) был \(1, 2, 3, 4\) или \(5\), а дальше работает таблица.
Реши весь третий столбик
