Реши задание на изображении
Краткие ответы для видимых пунктов:
\[ 150.\ \text{а)}\ \left(\frac{x}{y^2}-\frac1x\right):\left(\frac1y+\frac1x\right)=\frac{x-y}{y} \]
\[ \text{б)}\ \left(\frac{a}{m^2}+\frac{a^2}{m^3}\right):\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{m}{a}\right)=\frac{a^3}{m^4} \]
\[ \text{в)}\ \frac{ab+b^2}{3}:\frac{b^3}{3a}+\frac{a+b}{b}=\frac{(a+b)^2}{b^2} \]
\[ \text{г)}\ \frac{x-y}{x}-\frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x^2-xy}{5y}=0 \]
\[ 151.\ \text{а)}\ \left(\frac{x}{x+1}+1\right)\cdot\frac{1+x}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1} \]
Как рассуждать
Главный принцип: сумму или разность приводим к общему знаменателю, деление заменяем умножением на обратную дробь, затем раскладываем на множители и сокращаем.
150 а)
\[ \frac{x}{y^2}-\frac1x=\frac{x^2-y^2}{xy^2} =\frac{(x-y)(x+y)}{xy^2} \]
\[ \frac1y+\frac1x=\frac{x+y}{xy} \]
При делении переворачиваем вторую дробь:
\[ \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}\cdot\frac{xy}{x+y} =\frac{x-y}{y} \]
150 б)
\[ \frac{a}{m^2}+\frac{a^2}{m^3} =\frac{a(m+a)}{m^3} \]
\[ \frac{m^2}{a^2}+\frac{m}{a} =\frac{m(m+a)}{a^2} \]
\[ \frac{a(m+a)}{m^3}\cdot\frac{a^2}{m(m+a)} =\frac{a^3}{m^4} \]
150 в) Здесь сначала выполняется деление, потом сложение:
\[ \frac{b(a+b)}{3}\cdot\frac{3a}{b^3} =\frac{a(a+b)}{b^2} \]
\[ \frac{a(a+b)}{b^2}+\frac{a+b}{b} =\frac{a(a+b)+b(a+b)}{b^2} =\frac{(a+b)^2}{b^2} \]
150 г) Сначала умножение:
\[ \frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x(x-y)}{5y} =\frac{x-y}{x} \]
Поэтому:
\[ \frac{x-y}{x}-\frac{x-y}{x}=0 \]
151 а)
\[ \frac{x}{x+1}+1 =\frac{x+x+1}{x+1} =\frac{2x+1}{x+1} \]
\[ \frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{2x-1} =\frac{2x+1}{2x-1} \]
Ограничения
- 150 а: \(x\ne0,\ y\ne0,\ x+y\ne0\);
- 150 б: \(a\ne0,\ m\ne0,\ a+m\ne0\);
- 150 в: \(a\ne0,\ b\ne0\);
- 150 г: \(x\ne0,\ y\ne0\);
- 151 а: \(x\ne-1,\ x\ne\frac12\).
Проверка подстановкой подтверждает результаты: например, в 150 а при \(x=2,\ y=1\) обе части равны \(1\), а в 150 г при \(x=2,\ y=1\) получается \(0\).
Обсуждение
2 сообщенияНомер 152
№ 152
\[ \text{а)}\ \frac{10}{2m+1} \qquad \text{б)}\ -\frac{5y}{1+y} \qquad \text{в)}\ \frac{2x^2}{(x-3)(x+2)} \qquad \text{г)}\ \frac{2}{x-3} \]
Решение
а) \[ \left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{4m}{10m-5} \] Приводим разность к общему знаменателю: \[ \frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} =\frac{8m}{4m^2-1}. \] Так как \(10m-5=5(2m-1)\), получаем: \[ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m} =\frac{10}{2m+1}. \]
б) \[ 1-\frac1{1-y} =\frac{1-y-1}{1-y} =-\frac{y}{1-y}. \] Тогда: \[ \frac{5y^2}{1-y^2}:\left(-\frac{y}{1-y}\right) = \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y} = -\frac{5y}{1+y}. \]
в) Так как \(2-x=-(x-2)\), \[ \frac{x}{x+2}-\frac{x}{2-x} = \frac{x}{x+2}+\frac{x}{x-2} = \frac{2x^2}{x^2-4}. \] Поэтому: \[ \frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{2x^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x^2}{(x-3)(x+2)}. \]
г) \[ \frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{2(x^2+9)}{x^2-9}. \] Тогда: \[ \frac{x+3}{x^2+9}\cdot \frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x-3}. \]
Ограничения
\[ \text{а)}\ m\ne 0,\ \pm\frac12; \qquad \text{б)}\ y\ne 0,\ \pm1; \] \[ \text{в)}\ x\ne -2;\ 2;\ 3; \qquad \text{г)}\ x\ne \pm3. \]
В пункте в значение \(x=2\) тоже исключается, хотя после сокращения оно исчезает из формулы.
