научи дроби

Кратко

Дробь \(\dfrac{a}{b}\) — это, по сути, деление: \(\dfrac{a}{b}=a:b\).
Числитель \(a\) — сколько долей взяли, знаменатель \(b\) — на сколько долей разделили целое.
Почти все действия с дробями сводятся к одному: привести к общему знаменателю (при сложении и вычитании) или сократить (при умножении и делении).

Ключевые правила

1. Основное свойство дроби — главное, из чего всё растёт:

\[\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}\]

Умножили (или разделили) и числитель, и знаменатель на одно и то же ненулевое число — дробь не изменилась.

• Расширение: \(\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\) (умножили на 4).
• Сокращение: \(\frac{45}{60}=\frac{3}{4}\) (разделили на 15).

2. Сравнение — приводим к общему знаменателю и смотрим на числители:

\[\frac{2}{3}\ \text{и}\ \frac{3}{5}:\quad \frac{10}{15}>\frac{9}{15}\Rightarrow \frac{2}{3}>\frac{3}{5}\]

3. Сложение и вычитание — только с одинаковым знаменателем, складываем числители, знаменатель не трогаем:

\[\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}\]

4. Умножение — «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель», и сокращать лучше до умножения:

\[\frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{5\cdot 9}{6\cdot 10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}\]

(5 и 10 сократились на 5, 9 и 6 — на 3, считать почти не пришлось.)

5. Деление — умножаем на обратную дробь (переворачиваем делитель):

\[\frac{3}{4}:\frac{9}{8}=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}\]

6. Смешанные числа. При умножении и делении — переводим в неправильную дробь: \(2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot 3+1}{3}=\frac{7}{3}\). При сложении можно складывать целые и дробные части отдельно.

\[2\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{7}{3}-\frac{5}{6}=\frac{14}{6}-\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\]

7. Минус. \(\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}\) — минус можно вынести перед дробью, но не «забыть».

Как проверять себя

• Оценка по величине: \(\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}<1\) — и правда, каждое слагаемое меньше 1, сумма чуть меньше единицы. ✔
• Обратное действие: \(\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}=\frac{2}{3}\), значит \(\frac{2}{3}:\frac{8}{9}=\frac{3}{4}\). ✔
• Порядок величины при умножении на дробь: умножили на \(\frac{5}{6}<1\) — результат должен быть меньше исходного.

Три типичные ошибки

1. \(\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\ne\frac{3}{7}\) — знаменатели не складывают.
2. Сокращать в сумме нельзя: в \(\frac{2+3}{3+6}\) «двойки-тройки» не вычёркиваем — сокращение работает только для множителей.
3. В смешанном числе \(2\frac{1}{3}\) — это \(2+\frac{1}{3}\), а не \(2\cdot\frac{1}{3}\).