Реши задание на изображении

Кратко. Все три функции — квадратичные, их графики — параболы. Для каждой находим вершину, нули, точки для построения и по ним описываем свойства.

Общий приём. Для \(y=ax^2+bx+c\):

\[ x_{\text{верш}}=-\frac{b}{2a},\qquad y_{\text{верш}}=y(x_{\text{верш}}). \]

• если \(a>0\), ветви вверх, в вершине — минимум;
• если \(a<0\), ветви вниз, в вершине — максимум;
• нули функции — решения уравнения \(ax^2+bx+c=0\);
• ось симметрии: \(x=x_{\text{верш}}\).

---

а) \(y=\dfrac18x^2-4x+4\)

Выделим полный квадрат:

\[ y=\frac18(x-16)^2-28. \]

Значит, вершина:

\[ (16;-28). \]

Нули:

\[ \frac18x^2-4x+4=0 \Rightarrow x^2-32x+32=0, \]

\[ x=16\pm4\sqrt{14}\approx 1{,}03;\ 30{,}97. \]

Точки для графика:

\[ (0;4),\ (8;-20),\ (16;-28),\ (24;-20),\ (32;4). \]

Свойства:

• область определения: \(x\in\mathbb R\);
• область значений: \(y\in[-28;+\infty)\);
• ветви направлены вверх;
• наименьшее значение \(y=-28\) при \(x=16\);
• наибольшего значения нет;
• ось симметрии \(x=16\);
• \(y>0\) при
  \[ x<16-4\sqrt{14}\quad\text{или}\quad x>16+4\sqrt{14}; \]
• \(y<0\) при
  \[ 16-4\sqrt{14}<x<16+4\sqrt{14}; \]
• убывает на \((-\infty;16]\), возрастает на \([16;+\infty)\).

---

б) \(y=-\dfrac14x^2+x-1\)

\[ y=-\frac14(x-2)^2. \]

Вершина:

\[ (2;0). \]

Парабола касается оси \(Ox\) в точке \(x=2\), поэтому нуль один:

\[ x=2. \]

Точки для графика:

\[ (-2;-4),\ (0;-1),\ (2;0),\ (4;-1),\ (6;-4). \]

Свойства:

• область определения: \(x\in\mathbb R\);
• область значений: \(y\in(-\infty;0]\);
• ветви направлены вниз;
• наибольшее значение \(y=0\) при \(x=2\);
• наименьшего значения нет;
• ось симметрии \(x=2\);
• \(y=0\) только при \(x=2\);
• \(y<0\) при всех \(x\ne2\);
• промежутков, где \(y>0\), нет;
• возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\).

---

в) \(y=x^2+8x\)

\[ y=(x+4)^2-16. \]

Вершина:

\[ (-4;-16). \]

Нули:

\[ x^2+8x=0 \Rightarrow x(x+8)=0, \]

\[ x=-8,\qquad x=0. \]

Точки для графика:

\[ (-8;0),\ (-6;-12),\ (-4;-16),\ (-2;-12),\ (0;0). \]

Свойства:

• область определения: \(x\in\mathbb R\);
• область значений: \(y\in[-16;+\infty)\);
• ветви направлены вверх;
• наименьшее значение \(y=-16\) при \(x=-4\);
• наибольшего значения нет;
• ось симметрии \(x=-4\);
• \(y>0\) при
  \[ x<-8\quad\text{или}\quad x>0; \]
• \(y<0\) при
  \[ -8<x<0; \]
• убывает на \((-\infty;-4]\), возрастает на \([-4;+\infty)\).

Проверка вершин:

\[ y(16)=\frac18\cdot256-64+4=-28, \]

\[ y(2)=-\frac14\cdot4+2-1=0, \]

\[ y(-4)=16-32=-16. \]

Всё сходится: графики — параболы с найденными вершинами и точками.