Реши задание на изображении
Ответ: первому экскаватору — 6 ч, второму — 10 ч.
Всю работу принимаем за \(1\).
Пусть \(x\) ч — время более быстрого экскаватора, тогда второму нужно \(x+4\) ч.Их производительности: \[ \frac{1}{x}\quad\text{и}\quad \frac{1}{x+4}. \]
Вместе они выполняют работу за \(3\) ч \(45\) мин: \[ 3\text{ ч }45\text{ мин}=3{,}75=\frac{15}{4}\text{ ч}. \] Значит, их общая производительность: \[ \frac{1}{15/4}=\frac{4}{15}. \]
Составляем уравнение: \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{4}{15}. \] \[ 15(x+4)+15x=4x(x+4), \] \[ 4x^2-14x-60=0, \] \[ 2x^2-7x-30=0. \] Дискриминант: \[ D=49+240=289=17^2. \] \[ x=\frac{7+17}{4}=6. \] Отрицательный корень не подходит.
Тогда второй экскаватор работает: \[ x+4=10\text{ ч}. \]
Проверка: \[ \frac{1}{6}+\frac{1}{10} =\frac{5}{30}+\frac{3}{30} =\frac{8}{30} =\frac{4}{15}, \] а \(\frac{15}{4}=3{,}75\) ч — это \(3\) ч \(45\) мин.
Обсуждение
2 сообщенияРешить системой
Пусть \(x\) ч — время работы первого экскаватора, \(y\) ч — второго. По условию второй работает на \(4\) ч дольше:
\[ \begin{cases} y-x=4,\\[4pt] \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{15}. \end{cases} \]
Второе уравнение: вместе они выполняют \(\frac{1}{3{,}75}=\frac{4}{15}\) работы за час.
Из первого уравнения: \[ y=x+4. \]
Подставляем во второе: \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}=\frac{4}{15}. \]
Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{x+4+x}{x(x+4)}=\frac{4}{15}, \] \[ 15(2x+4)=4x(x+4), \] \[ 30x+60=4x^2+16x, \] \[ 4x^2-14x-60=0. \]
Разделим на \(2\): \[ 2x^2-7x-30=0. \]
Дискриминант: \[ D=49+240=289=17^2. \]
Корни: \[ x=\frac{7\pm17}{4}. \]
Подходит только положительный корень: \[ x=\frac{24}{4}=6. \]
Тогда: \[ y=x+4=10. \]
Ответ: первый экскаватор может выполнить работу за \(6\) ч, второй — за \(10\) ч.
Проверка: \[ \frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{5+3}{30}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}. \] Это соответствует \(3\) ч \(45\) мин.
