номер 101

Кратко:

а) \(f(x)=3\cos 2x-1\)
\[ D(f)=\mathbb R,\qquad E(f)=[-4;\,2]. \]

б) \(f(x)=2-\operatorname{ctg}3x\)
\[ D(f)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi k}{3}:k\in\mathbb Z\right\},\qquad E(f)=\mathbb R. \]

в) \(f(x)=2\operatorname{tg}\frac{x}{2}\)
\[ D(f)=\mathbb R\setminus\{\pi+2\pi k:k\in\mathbb Z\},\qquad E(f)=\mathbb R. \]

г) \(f(x)=1+0{,}5\sin\frac{x}{2}\)
\[ D(f)=\mathbb R,\qquad E(f)=[0{,}5;\,1{,}5]. \]

Как это получается

1. Область определения — какие \(x\) можно подставлять.
   \(\sin x\) и \(\cos x\) определены при любых \(x\), поэтому в пунктах а) и г) ограничений нет.

2. Для \(\operatorname{tg}\) нужно, чтобы косинус не равнялся нулю: \[ \operatorname{tg}\frac{x}{2}\text{ существует при }\cos\frac{x}{2}\ne0. \] Значит, \[ \frac{x}{2}\ne\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\Rightarrow\quad x\ne\pi+2\pi k. \]

3. Для \(\operatorname{ctg}\) нужно, чтобы синус не равнялся нулю: \[ \operatorname{ctg}3x\text{ существует при }\sin3x\ne0. \] Значит, \[ 3x\ne\pi k \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac{\pi k}{3}. \]

4. Область значений. У \(\sin\) и \(\cos\) значения лежат в \([-1;1]\). Поэтому:

   • в а): \(3\cos2x\) меняется от \(-3\) до \(3\), после вычитания \(1\) получаем \([-4;2]\);
   • в г): \(0{,}5\sin\frac{x}{2}\) меняется от \(-0{,}5\) до \(0{,}5\), после прибавления \(1\) получаем \([0{,}5;1{,}5]\).

5. Функции \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{ctg}\) принимают все действительные значения, поэтому после умножения на \(2\) или вычитания из \(2\) область значений остаётся \(\mathbb R\).