тригонометриялык функциясы деген эмне
Кыскача жооп: тригонометриялык функциялар — бурчка санды туура келтирүүчү функциялар: \(\sin\), \(\cos\), \(\operatorname{tg}\), \(\operatorname{ctg}\). Алар тик бурчтуу үч бурчтукта кабыргалардын катышы катары, ал эми каалаган бурч үчүн бирдик тегерекчедеги чекиттин координаталары катары аныкталат.
Негизги кадамдар
Тик бурчтуу үч бурчтук. \(\alpha\) бурчту алабыз: ошол бурчка каршы жаткан катет — \(a\), жанаша жаткан катет — \(b\), гипотенуза — \(c\). Анда:
\[\sin\alpha=\frac{a}{c},\qquad \cos\alpha=\frac{b}{c},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{b}{a}.\]Эстеп калуу. Синус — каршы катет / гипотенуза, косинус — жанаша катет / гипотенуза. Тангенс — синустун косинуска катышы:
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\]Бирдик тегерекче. Радиусу 1 болгон тегерекчеде \(\alpha\) бурчка туура келген \(M(x;y)\) чекити алынат. Ошондо \(\cos\alpha=x\), \(\sin\alpha=y\), \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{y}{x}\). Ушундан \(\sin\) жана \(\cos\) ар дайым \([-1;\,1]\) аралыгында жатат, ал эми \(\operatorname{tg}\) менен \(\operatorname{ctg}\) каалаган маанини ала алат (бөлүүчү нөл болгон жерде аныкталбайт).
Негизги байланыш. Пифагор теоремасынан:
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\]
Текшерүү (мисал). Катеттери 3 жана 4, гипотенузасы 5 болгон үч бурчтукта 3 саны \(\alpha\) бурчка каршы турсун:
\[\sin\alpha=\frac{3}{5}=0{,}6,\quad \cos\alpha=\frac{4}{5}=0{,}8,\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}=0{,}75.\]Текшеребиз: \(0{,}6^2+0{,}8^2=0{,}36+0{,}64=1\) ✓ — формула туура иштейт.
Ошондуктан окшош маселелерди чыгарууда: алгач тик бурчтуу үч бурчтукту тап, кайсы кабырга каршы, кайсынысы жанаша экенин белгиле, анан керектүү катышты жаз жана жыйынтыкты \(\sin^2+\cos^2=1\) менен текшер.
Обсуждение
2 сообщения30, 45, 60 градус үчүн маанилерди карайбызбы?
Кыскача жооп: ооба, бул үч бурч — эң негизгилер, аларды жаттабай эле эки үч бурчтуктан чыгарып алса болот. Маанилери:
| \(\alpha\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
|---|---|---|---|
| \(\sin\alpha\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) |
| \(\cos\alpha\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) |
| \(\operatorname{tg}\alpha\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) |
| \(\operatorname{ctg}\alpha\) | \(\sqrt3\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) |
Бул кайдан келет
\(30^\circ\) жана \(60^\circ\) — тең кабыргалуу үч бурчтуктан. Кабыргасы 1 болгон тең кабыргалуу үч бурчтукту бийиктиги боюнча экиге бөлөбүз. Пайда болгон тик бурчтуу үч бурчтукта гипотенуза \(1\), кичине катет \(\frac12\) (ал \(30^\circ\) бурчка каршы), ал эми бийиктик \(\frac{\sqrt3}{2}\) (\(60^\circ\) бурчка каршы). Андан:
\[\sin30^\circ=\frac{1/2}{1}=\frac12,\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3/2}{1}=\frac{\sqrt3}{2}.\]\(60^\circ\) үчүн кабыргалар орун алмашат, ошондуктан \(\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\cos60^\circ=\frac12\).
\(45^\circ\) — тик бурчтуу тең кабыргалуу үч бурчтуктан. Катеттери \(1\) жана \(1\), гипотенузасы Пифагор боюнча \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\):
\[\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.\]Тангенс — катыш аркылуу. \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) болгондуктан:
\[\operatorname{tg}30^\circ=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3},\qquad \operatorname{tg}60^\circ=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3,\qquad \operatorname{tg}45^\circ=1.\]Котангенс — тескериси: \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\).
Эстеп калуунун ыкмасы. Синустар үчүн сандарды \(\dfrac{\sqrt0}{2},\dfrac{\sqrt1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt4}{2}\) деп тизсек, \(0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ\) үчүн маанилер чыгат: \(0,\ \frac12,\ \frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2},\ 1\). Косинус — ошол эле тизме, тескери тартипте.
Текшерүү. \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):
- \(30^\circ\): \(\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1\) ✓
- \(45^\circ\): \(\frac12+\frac12=1\) ✓
- \(60^\circ\): \(\frac34+\frac14=1\) ✓
Окшош маселелерде таблицаны унутуп калсаң, ушул эки үч бурчтукту элестетип, катышты кайра жаз — жыйынтык ошол эле болот.
