Реши примеры по действиям
Кратко:
- \(2\)
- \(9\)
- \(3\)
- \(8\)
Главное правило:
при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\[
a^m\cdot a^n=a^{m+n},
\]
а степень степени перемножает показатели:
\[
(a^m)^n=a^{mn}.
\]
Поэтому сначала приводим числа к одному основанию:
\[
4=2^2,\quad 9=3^2,\quad 27=3^3.
\]
1)
\[ 4^{\sqrt2}=(2^2)^{\sqrt2}=2^{2\sqrt2} \] \[ 2^{1-2\sqrt2}\cdot 2^{2\sqrt2} =2^{1-2\sqrt2+2\sqrt2}=2^1=2 \]
2)
\[ 27^{\sqrt3}=(3^3)^{\sqrt3}=3^{3\sqrt3} \] \[ 3^{2-3\sqrt3}\cdot 3^{3\sqrt3} =3^{2-3\sqrt3+3\sqrt3}=3^2=9 \]
3)
\[ 9^{1+\sqrt3}=(3^2)^{1+\sqrt3}=3^{2+2\sqrt3} \] Теперь сложим все показатели: \[ (2+2\sqrt3)+(1-\sqrt3)+(-2-\sqrt3) \] Корни сокращаются: \[ 2+1-2=1 \] Значит: \[ 3^1=3 \]
4)
\[ 4^{3+\sqrt2}=(2^2)^{3+\sqrt2}=2^{6+2\sqrt2} \] Складываем показатели: \[ (6+2\sqrt2)+(1-\sqrt2)+(-4-\sqrt2) \] \[ 6+1-4=3,\qquad 2\sqrt2-\sqrt2-\sqrt2=0 \] \[ 2^3=8 \]
Проверка принципа: во всех примерах сначала «убираем разные основания», затем отдельно складываем обычные числа и отдельно коэффициенты при корне. В результате корни взаимно уничтожаются.
Обсуждение
2 сообщенияРеши примеры подробно
Ниже разберём все примеры с доски по порядку.
Сначала повторим правила, которые здесь нужны:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \] \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}. \]
① Упростить, представив в виде степени
1)
\[ \frac{a^{\frac12}\cdot a^{-0,5}}{a^{\frac23}} \]
Так как
\[ -0{,}5=-\frac12, \]
то в числителе:
\[ a^{\frac12}\cdot a^{-\frac12}=a^{\frac12-\frac12}=a^0=1. \]
Значит,
\[ \frac{1}{a^{\frac23}}=a^{-\frac23}. \]
Ответ:
\[ \boxed{a^{-\frac23}} \]
или
\[ \boxed{\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}} \]
2)
\[ \sqrt[6]{a}\cdot \left(a^{\frac34}\right)^2 \]
Переведём корень в степень:
\[ \sqrt[6]{a}=a^{\frac16}. \]
Раскроем скобки:
\[ \left(a^{\frac34}\right)^2=a^{\frac34\cdot 2}=a^{\frac32}. \]
Теперь умножим:
\[ a^{\frac16}\cdot a^{\frac32} =a^{\frac16+\frac32}. \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac16+\frac32=\frac16+\frac96=\frac{10}{6}=\frac53. \]
Ответ:
\[ \boxed{a^{\frac53}} \]
3)
\[ \left(a^{2,5}\right)^2\cdot \sqrt a \]
Сначала:
\[ 2{,}5=\frac52, \]
поэтому
\[ \left(a^{\frac52}\right)^2=a^{\frac52\cdot 2}=a^5. \]
Корень:
\[ \sqrt a=a^{\frac12}. \]
Умножаем:
\[ a^5\cdot a^{\frac12}=a^{5+\frac12}=a^{\frac{10}{2}+\frac12}=a^{\frac{11}{2}}. \]
Ответ:
\[ \boxed{a^{\frac{11}{2}}} \]
4)
\[ \frac{a^{-3}\cdot a^{\frac53}}{a^{\frac13}} \]
Складываем показатели в числителе:
\[ -3+\frac53=-\frac93+\frac53=-\frac43. \]
Получаем:
\[ \frac{a^{-\frac43}}{a^{\frac13}} =a^{-\frac43-\frac13} =a^{-\frac53}. \]
Ответ:
\[ \boxed{a^{-\frac53}} \]
или
\[ \boxed{\frac{1}{a^{\frac53}}} \]
② Сократить дробь
5)
\[ \frac{y-16}{5\sqrt y+20} \]
Пусть
\[ t=\sqrt y. \]
Тогда
\[ y=t^2. \]
Числитель раскладываем как разность квадратов:
\[ y-16=t^2-16=(t-4)(t+4). \]
Знаменатель:
\[ 5\sqrt y+20=5t+20=5(t+4). \]
Подставляем:
\[ \frac{(t-4)(t+4)}{5(t+4)}. \]
Сокращаем на \(t+4\):
\[ \frac{t-4}{5}. \]
Возвращаемся к \(y\):
\[ t=\sqrt y. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{\sqrt y-4}{5}} \]
6)
\[ \frac{a^{\frac43}-b^{\frac43}}{a^{\frac23}-b^{\frac23}} \]
Заметим, что
\[ a^{\frac43}=\left(a^{\frac23}\right)^2, \qquad b^{\frac43}=\left(b^{\frac23}\right)^2. \]
Пусть
\[ x=a^{\frac23},\qquad y=b^{\frac23}. \]
Тогда числитель:
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]
Получаем:
\[ \frac{x^2-y^2}{x-y} =\frac{(x-y)(x+y)}{x-y} =x+y. \]
Возвращаемся обратно:
\[ x+y=a^{\frac23}+b^{\frac23}. \]
Ответ:
\[ \boxed{a^{\frac23}+b^{\frac23}} \]
Итоговые ответы
\[ \boxed{a^{-\frac23}} \]
\[ \boxed{a^{\frac53}} \]
\[ \boxed{a^{\frac{11}{2}}} \]
\[ \boxed{a^{-\frac53}} \]
\[ \boxed{\frac{\sqrt y-4}{5}} \]
\[ \boxed{a^{\frac23}+b^{\frac23}} \]
Главный принцип для объяснения: корни и десятичные дроби переводим в дробные степени, при умножении степеней показатели складываем, при делении — вычитаем, а степень степени — перемножаем показатели.
