бурчтун косинусу

Кыскача жооп

Синус — тик бурчтуу үч бурчтукта бурчка каршы жаткан катеттин гипотенузага болгон катышы:

\[\sin\alpha=\frac{\text{каршы катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{a}{c}\]

Негизги кадамдар

1. Тик бурчту тап — аныктама ошондо гана түз иштейт.
2. \(\alpha\) бурчуна каршы жаткан катетти жана гипотенузаны белгиле (жанаша катет синуска кирбейт!).
3. Катышты жаз жана эсепте.

Мисал: катеттери 3 жана 4, гипотенузасы 5. 3-катетке каршы бурч үчүн \(\sin\alpha=\frac{3}{5}=0{,}6\); экинчи бурч үчүн \(\sin\beta=\frac{4}{5}=0{,}8\).

Текшерүү: ошол эле бурч үчүн \(\cos\alpha=\frac{4}{5}=0{,}8\), демек

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=0{,}36+0{,}64=1\ ✓\]

Ошондой эле \(\sin\) менен \(\cos\) «орун алмашат»: бир бурчтун синусу — экинчисинин косинусу.

Эстеп калууга керектүү маанилер

Бурч	0°	30°	45°	60°	90°
\(\sin\)	0	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	1

\(\sin\) бурч өскөндө чоңоёт (0°→90°: 0→1), ал эми \(\cos\) кичиреет.

Мойнон бурч: \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\), мисалы \(\sin150^\circ=\sin30^\circ=0{,}5\). Бирдик айланада \(\sin\alpha\) — чекиттин \(y\) координатасы.

Пайдалуу формулалар

• \(\sin\alpha=\dfrac{\text{каршы катет}}{\text{гипотенуза}}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\text{жанаша катет}}{\text{гипотенуза}}\), \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
• Синустар теоремасы: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=2R\)

Керек болсо, сандарыңды жазып бер — бирге эсептейбиз.

Кыскача жооп

\(\sin\) жана \(\cos\) — бир эле бурчтун эки бөлүгү: бирдик айланадагы чекиттин координаталары. \(\cos\alpha\) — \(x\), \(\sin\alpha\) — \(y\). Ошондуктан алардын эң негизги байланышы:

\[\boxed{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\]

Негизги байланыштар

Байланыш	Формула	Мааниси
Негизги окшоштук	\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)	Пифагор теоремасынан келип чыгат
Толуктоочу бурчтар	\(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\)	Тик бурчтуу үч бурчтукта бир бурчтун синусу — экинчисинин косинусу
Тангенс	\(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)	\(\cos\alpha=0\) болгондо аныкталбайт
90° жылышуу	\(\sin(\alpha+90^\circ)=\cos\alpha\), \(\cos(\alpha+90^\circ)=-\sin\alpha\)	Графиктер бири-биринен 90° жылышкан
Жуп/так	\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)	\(\cos\) — жуп, \(\sin\) — так функция
Кош бурч	\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)	Эки эселенген бурч

Мисал менен текшерүү

\(\alpha=30^\circ\) алалы: \(\sin30^\circ=0{,}5\), \(\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866\).

• \(\sin^2+\cos^2=0{,}25+0{,}75=1\) ✓
• \(\sin(90^\circ-30^\circ)=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}=\cos30^\circ\) ✓
• \(\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{0{,}5}{0{,}866}\approx0{,}577=\frac{1}{\sqrt3}\) ✓

Эстеп калуу

«\(\cos\) — \(x\), \(\sin\) — \(y\)» деп эстесең, калган байланыштар өзү эле чыгат: \(x^2+y^2=1\) (негизги окшоштук), ал эми \(y\) огун \(x\) огуна буруу — ошол 90° жылышуу.

Кайсынысын кененирээк көрсөтөйүн — графиктеринби же формулалардын далилинби?

Кыскача жооп

Тангенс менен котангенс — синус менен косинустун катышы:

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\text{каршы катет}}{\text{жанаша катет}},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\text{жанаша катет}}{\text{каршы катет}}\]

Башкача айтканда, котангенс — тангенстин «тескериси»:

\[\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1,\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\]

Негизги байланыштар

Байланыш	Формула	Эскертүү
Катыш	\(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)	—
Көбөйтүндү	\(\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1\)	Экөө тең аныкталганда
Негизги окшоштуктар	\(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\), \(1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}\)	\(\sin^2+\cos^2=1\)-ден чыгат
Кош бурч	\(\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\)	—
Так функциялар	\(\operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{ctg}(-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha\)	Экөө тең так
Мойнон бурч	\(\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha\), \(\operatorname{ctg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha\)	Период \(\pi\), б.а. \(180^\circ\)
Толуктоочу бурч	\(\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha\)	«Ко» — «ко»га өтөт

Маанилер таблицасы

Бурч	0°	30°	45°	60°	90°
\(\operatorname{tg}\)	0	\(\frac{\sqrt3}{3}\)	1	\(\sqrt3\)	аныкталбайт
\(\operatorname{ctg}\)	аныкталбайт	\(\sqrt3\)	1	\(\frac{\sqrt3}{3}\)	0

Эмнеге 90°дө аныкталбайт? \(\operatorname{tg}90^\circ=\frac{\sin90^\circ}{\cos90^\circ}=\frac{1}{0}\) — нөлгө бөлүү болбойт. Ошондой эле \(\operatorname{ctg}0^\circ=\frac{1}{0}\) — аныкталбайт.

Мисал менен текшерүү

Катеттери 3 жана 4, гипотенузасы 5. 3-катетке каршы бурч \(\alpha\) үчүн: \(\sin\alpha=0{,}6\), \(\cos\alpha=0{,}8\).

• \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75=\dfrac{3}{4}\) — каршы катет / жанаша катет ✓
• \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}\approx1{,}33=\dfrac{4}{3}\) ✓
• \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=0{,}75\cdot\dfrac{4}{3}=1\) ✓
• \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=1+0{,}5625=1{,}5625=\dfrac{1}{0{,}64}=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) ✓

Эстеп калуу

• «Тангенс — синус бөлүү косинус» (Т-С/К), котангенс — тескерисинче.
• \(\operatorname{tg}\) — каршы катетти жанаша катетке бөлөсүң, \(\operatorname{ctg}\) — жанашаны каршыга.
• \(\operatorname{tg}\) 0°→90° аралыгында өсөт (0→\(\infty\)), \(\operatorname{ctg}\) — кичиреет (\(\infty\)→0).

Кайсынысын кененирээк көрсөтөйүн — графиктеринби же тригонометриялык теңдемелерде колдонулушунбу?