430

Краткий ответ (№ 430):

а) \(9\); б) \(\frac83\); в) \(32\);
г) \(\left(\frac{27^2}{125^5}\right)^{\frac29}=\frac{3^{4/3}}{5^{10/3}}=\sqrt[3]{\frac{81}{5^{10}}}\).

Как решать: раскладываем основания на степени простых чисел и используем правило
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]

а)
\[ 243^{0,4}=243^{2/5}=(3^5)^{2/5}=3^2=9. \]

б)
\[ \left(\frac{64^4}{3^8}\right)^{1/8} =\frac{64^{4/8}}{3^{8/8}} =\frac{64^{1/2}}{3} =\frac83. \]

в)
\[ 16^{5/4}=(2^4)^{5/4}=2^5=32. \]

г)
\(27=3^3,\quad 125=5^3\), поэтому \[ 27^2=3^6,\qquad 125^5=5^{15}. \] Тогда \[ \left(\frac{3^6}{5^{15}}\right)^{2/9} =\frac{3^{6\cdot 2/9}}{5^{15\cdot 2/9}} =\frac{3^{4/3}}{5^{10/3}} =\sqrt[3]{\frac{81}{5^{10}}}. \]

Проверка для г): если возвести полученное число в степень \(\frac92\), снова получится \(\frac{27^2}{125^5}\) — значит, exponents умножены верно.