Реши задание на изображении
Краткий ответ
- а) \(8\sqrt2\); б) \(-2\sqrt{6x}\) при \(x\ge0\); в) \(-3\sqrt5\).
- а) \(b^2-c\); б) \(12\); в) \(47-12\sqrt{11}\).
- а) \((m-\sqrt6)(m+\sqrt6)\); б) \((\sqrt3-4p)(\sqrt3+4p)\); в) \((\sqrt7x-\sqrt2y)(\sqrt7x+\sqrt2y)\); г) \((5-\sqrt c)(5+\sqrt c)\).
- а) \(x-\sqrt3\) при \(x\ne-\sqrt3\); б) \(\dfrac{1}{\sqrt p+6}\) при \(p\ge0,\ p\ne36\); в) \(-\dfrac{1}{2\sqrt x+7\sqrt y}\) при \(x,y\ge0\); г) \(3\sqrt6-1\).
1. Упрощение корней
Главный приём: из-под корня выносим полный квадрат.
а)
\[
\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2,\quad
\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2,\quad
\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2.
\]
\[
5\sqrt2-3\sqrt2+6\sqrt2=8\sqrt2.
\]
б)
\[
\sqrt{24x}=\sqrt{4\cdot6x}=2\sqrt{6x},
\]
\[
\sqrt{54x}=\sqrt{9\cdot6x}=3\sqrt{6x}.
\]
Тогда:
\[
2\sqrt{6x}-\sqrt{6x}-3\sqrt{6x}=-2\sqrt{6x}.
\]
в)
\[
\frac12\sqrt{20}=\frac12\cdot2\sqrt5=\sqrt5,
\]
\[
\frac13\sqrt{45}=\frac13\cdot3\sqrt5=\sqrt5,
\]
\[
10\sqrt{1{,}25}=10\sqrt{\frac54}
=10\cdot\frac{\sqrt5}{2}=5\sqrt5.
\]
\[
\sqrt5+\sqrt5-5\sqrt5=-3\sqrt5.
\]
2. Формулы сокращённого умножения
Используем: \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
а) \[ (b-\sqrt c)(b+\sqrt c)=b^2-c. \]
б) \[ (\sqrt{17}+\sqrt5)(\sqrt{17}-\sqrt5) =17-5=12. \]
в) \[ (\sqrt{11}-6)^2 =11-12\sqrt{11}+36 =47-12\sqrt{11}. \]
3. Разность квадратов
Формула: \[ A^2-B^2=(A-B)(A+B). \] Нужно представить оба слагаемых квадратами.
а)
\[
m^2-6=m^2-(\sqrt6)^2=(m-\sqrt6)(m+\sqrt6).
\]
б)
\[
3-16p^2=(\sqrt3)^2-(4p)^2
=(\sqrt3-4p)(\sqrt3+4p).
\]
в)
\[
7x^2-2y^2=(\sqrt7x)^2-(\sqrt2y)^2
=(\sqrt7x-\sqrt2y)(\sqrt7x+\sqrt2y).
\]
г)
\[
25-c=5^2-(\sqrt c)^2
=(5-\sqrt c)(5+\sqrt c).
\]
4. Сокращение дробей
Сначала раскладываем числитель или знаменатель на множители, затем сокращаем.
а) \[ \frac{x^2-3}{x+\sqrt3} =\frac{(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)}{x+\sqrt3} =x-\sqrt3. \] Обязательно \(x\ne-\sqrt3\), иначе знаменатель равен нулю.
б) \[ p-36=(\sqrt p-6)(\sqrt p+6), \] поэтому \[ \frac{\sqrt p-6}{p-36} =\frac{\sqrt p-6}{(\sqrt p-6)(\sqrt p+6)} =\frac1{\sqrt p+6}. \] Условия: \(p\ge0,\ p\ne36\).
в)
\[
49y-4x=(7\sqrt y)^2-(2\sqrt x)^2
=(7\sqrt y-2\sqrt x)(7\sqrt y+2\sqrt x).
\]
При этом
\[
7\sqrt y-2\sqrt x=-(2\sqrt x-7\sqrt y).
\]
Значит:
\[
\frac{2\sqrt x-7\sqrt y}{49y-4x}
=
\frac{2\sqrt x-7\sqrt y}{-(2\sqrt x-7\sqrt y)(2\sqrt x+7\sqrt y)}
=
-\frac1{2\sqrt x+7\sqrt y}.
\]
Здесь важно не перепутать порядок в знаменателе: \(49y-4x\), а не \(4x-49y\).
г) \[ \frac{18-\sqrt6}{\sqrt6} =\frac{18}{\sqrt6}-1 =3\sqrt6-1, \] так как \[ \frac{18}{\sqrt6}=\frac{18\sqrt6}{6}=3\sqrt6. \]
Проверка: например, \(3\sqrt6-1\approx6{,}35\), и исходная дробь даёт примерно столько же. В буквенных примерах проверка — раскрыть скобки обратно: \((\sqrt p-6)(\sqrt p+6)=p-36\).
