реши
Краткий ответ:
а) \(\cos t=-\dfrac12\), \(t\in[0;\pi]\)
\[
t=\frac{2\pi}{3}
\]
в) \(\cos t=-\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(t\in[0;\pi]\)
\[
t=\frac{3\pi}{4}
\]
Как решать:
Если \(\cos t=-a\), где \(a>0\), то \[ \arccos(-a)=\pi-\arccos a. \] То есть сначала находим угол для положительного значения, а потом отражаем его на второй четверти.
Для первого уравнения: \[ \arccos\frac12=\frac{\pi}{3}, \] поэтому \[ \arccos\left(-\frac12\right)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}. \]
Для второго уравнения: \[ \arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}, \] поэтому \[ \arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}. \]
Почему только одно решение: на промежутке \([0;\pi]\) функция \(\cos t\) строго убывает, поэтому каждое значение она принимает ровно один раз. Вторые «ветви» решений выходят за этот промежуток.
Проверка: \[ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,\qquad \cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
