реши
Краткий ответ:
\[ (3b-2)^3 = 27b^3 - 54b^2 + 36b - 8 \]
\[ (2y-3)^2 = 4y^2 - 12y + 9 \]
\[ (6-b)(6+b) = 36 - b^2 \]
Как это получается
Здесь работают три формулы сокращённого умножения.
- Куб разности:
\[ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \] Берём \(a=3b\), \(b=2\): \[ (3b)^3 - 3\cdot(3b)^2\cdot2 + 3\cdot3b\cdot2^2 - 2^3 \] \[ = 27b^3 - 54b^2 + 36b - 8 \]
Важно не путать куб разности с разностью кубов: \(a^3-b^3\) — это совсем другая формула.
Квадрат разности:
\[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] При \(a=2y\), \(b=3\): \[ (2y)^2 - 2\cdot2y\cdot3 + 3^2 = 4y^2 - 12y + 9 \]Разность квадратов:
\[ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \] Поэтому: \[ (6-b)(6+b) = 6^2 - b^2 = 36 - b^2 \]
Проверка подстановкой
- При \(b=1\): \((3-2)^3=1\), а \(27-54+36-8=1\).
- При \(y=1\): \((2-3)^2=1\), а \(4-12+9=1\).
- При \(b=1\): \((6-1)(6+1)=35\), а \(36-1=35\).
Всё сходится. Главное — сначала определить вид формулы, затем аккуратно подставить \(a\) и \(b\).
Обсуждение
2 сообщенияНе кратко
Разберём подробно каждое выражение. Здесь нужны формулы сокращённого умножения, поэтому сначала определим, какая формула подходит, а потом аккуратно подставим выражения вместо букв.
Чтобы не путать переменную \(b\) из задания с буквами формулы, внутри формул будем обозначать части через \(A\) и \(B\).
1. \((3b-2)^3\)
Это куб разности. Формула:
\[ (A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 \]
В нашем случае:
\[ A=3b,\qquad B=2 \]
Подставляем по частям.
Первое слагаемое
\[ A^3=(3b)^3=3^3\cdot b^3=27b^3 \]
Второе слагаемое
Сначала найдём \(A^2\):
\[ A^2=(3b)^2=3^2b^2=9b^2 \]
Теперь:
\[ 3A^2B=3\cdot 9b^2\cdot 2=54b^2 \]
Перед этим слагаемым стоит минус, поэтому получаем:
\[ -54b^2 \]
Третье слагаемое
\[ B^2=2^2=4 \]
\[ 3AB^2=3\cdot 3b\cdot 4=36b \]
Значит, третье слагаемое:
\[ +36b \]
Четвёртое слагаемое
\[ B^3=2^3=8 \]
Перед ним стоит минус:
\[ -8 \]
Собираем всё вместе
\[ (3b-2)^3=27b^3-54b^2+36b-8 \]
Ответ:
\[ \boxed{27b^3-54b^2+36b-8} \]
Обрати внимание: знаки в кубе разности чередуются:
\[ +,\ -, \ +, \ - \]
То есть сначала плюс, потом минус, потом плюс, потом минус.
2. \((2y-3)^2\)
Это квадрат разности. Формула:
\[ (A-B)^2=A^2-2AB+B^2 \]
Здесь:
\[ A=2y,\qquad B=3 \]
Первое слагаемое
\[ A^2=(2y)^2=2^2y^2=4y^2 \]
Второе слагаемое
Сначала найдём произведение:
\[ AB=2y\cdot 3=6y \]
Удваиваем его:
\[ 2AB=2\cdot 6y=12y \]
Перед этим слагаемым стоит минус:
\[ -12y \]
Третье слагаемое
\[ B^2=3^2=9 \]
Собираем всё вместе
\[ (2y-3)^2=4y^2-12y+9 \]
Ответ:
\[ \boxed{4y^2-12y+9} \]
Частая ошибка — записать просто \(4y^2-9\). Так делать нельзя: при возведении разности в квадрат обязательно появляется удвоенное произведение \(-12y\).
Можно проверить раскрытием:
\[ (2y-3)(2y-3) \]
Умножаем:
\[ 2y\cdot 2y=4y^2 \]
\[ 2y\cdot(-3)=-6y \]
\[ (-3)\cdot 2y=-6y \]
\[ (-3)\cdot(-3)=9 \]
Складываем:
\[ 4y^2-6y-6y+9=4y^2-12y+9 \]
Результат совпал.
3. \((6-b)(6+b)\)
Это разность квадратов. Формула:
\[ (A-B)(A+B)=A^2-B^2 \]
Здесь:
\[ A=6,\qquad B=b \]
Тогда:
\[ (6-b)(6+b)=6^2-b^2 \]
\[ 6^2=36 \]
Значит:
\[ (6-b)(6+b)=36-b^2 \]
Ответ:
\[ \boxed{36-b^2} \]
Почему средние слагаемые исчезают, можно увидеть, если раскрыть скобки:
\[ (6-b)(6+b)=6\cdot6+6\cdot b-b\cdot6-b\cdot b \]
\[ =36+6b-6b-b^2 \]
Слагаемые \(+6b\) и \(-6b\) взаимно уничтожаются:
\[ =36-b^2 \]
Итоговые ответы
\[ \boxed{(3b-2)^3=27b^3-54b^2+36b-8} \]
\[ \boxed{(2y-3)^2=4y^2-12y+9} \]
\[ \boxed{(6-b)(6+b)=36-b^2} \]
Как не ошибаться в похожих заданиях
Посмотри на степень:
- степень \(2\) — квадрат суммы или разности;
- степень \(3\) — куб суммы или разности;
- две скобки с одинаковыми числами и противоположными знаками — разность квадратов.
Выпиши, чему равны \(A\) и \(B\), прямо перед подстановкой.
Не забывай возводить в степень и коэффициент: \[ (3b)^2=9b^2,\quad (3b)^3=27b^3 \]
В квадрате и кубе разности внимательно следи за знаками.
Для проверки подставь вместо переменной простое число, например \(0\) или \(1\), в исходное выражение и в полученный ответ — значения должны совпасть.
