Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).

Как решать:

Уравнение имеет вид
\[ ax^2+bx+c=0, \] где \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).

Сначала удобно попробовать разложить на множители. Нужны два числа, которые:

• в сумме дают \(5\) (так как \(b=-5\), берём сумму корней со знаком «плюс»);
• в произведении дают \(6\).

Это числа \(2\) и \(3\), потому что: \[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \]

Значит: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Получаем: \[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]

Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]

Проверка:

Для \(x=2\): \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \]

Для \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Универсальный способ: через дискриминант \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \] Тогда \[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm1}{2}, \] то есть \[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3. \]

Принцип: для приведённого квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) ищем два числа, которые в сумме дают \(-p\), а в произведении — \(q\). Если подобрать трудно, всегда используем дискриминант.