Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x_1 = 2, \quad x_2 = 3\]

(оба корня действительные, уравнение имеет два различных корня)

Способ 1. Разложение на множители (быстрый)

Для приведённого уравнения вида \(x^2 + px + q = 0\) работает правило: нужно найти два числа, у которых произведение равно \(q\), а сумма равна \(-p\).

Здесь \(p = -5\), \(q = 6\), то есть:

• произведение \(= 6\);
• сумма \(= 5\).

Подбираем: \(2 \cdot 3 = 6\) и \(2 + 3 = 5\) — подходит.

Значит,

\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0.\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2; \qquad x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3.\]

Способ 2. Через дискриминант (универсальный)

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0.\]

Так как \(D > 0\), корней два:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}.\] \[x_1 = \frac{5-1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3.\]

Способ 3. Теорема Виета

Для уравнения \(x^2 + px + q = 0\):

\[x_1 + x_2 = -p = 5, \qquad x_1 \cdot x_2 = q = 6.\]

Числа 2 и 3 — единственная подходящая пара.

Проверка

\[2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \ ✓\] \[3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \ ✓\]

Принцип, который стоит запомнить

1. Смотри на знак \(D\): \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
2. Если коэффициент при \(x^2\) равен 1 и корни «красивые», быстрее подобрать числа по Виету, а дискриминант использовать как проверку.