Иште
Кратко
Для двух верхних выражений:
\[ \arccos\!\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin\!\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\pi}{2}, \]
\[ \arccos\frac{\sqrt2}{2}-\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\pi}{12}. \]
Для № 128:
\[ \text{а) }-\frac{\pi}{12};\qquad \text{б) } \frac{\pi}{2};\qquad \text{в) } -\frac{\pi}{3};\qquad \text{г) } \frac{\pi}{2}. \]
Если в пункте 128а напечатано именно \(\arctg 3\), а не \(\arctg\sqrt3\), то
\[ \arctg1-\arctg3=\frac{\pi}{4}-\arctg3=-\arctg\frac12. \]
Как рассуждать
Обратные тригонометрические функции дают угол, причём угол берётся из определённого промежутка:
\[ \arccos x\in[0;\pi],\qquad \arcsin x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],\qquad \arctg x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right). \]
Поэтому сначала смотрим, в каком промежутке должен лежать угол, а потом подбираем его по таблице.
Полезные свойства:
\[ \arccos(-x)=\pi-\arccos x, \]
\[ \arcsin(-x)=-\arcsin x,\qquad \arctg(-x)=-\arctg x. \]
Первое выражение
\[ \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}, \]
потому что
\[ \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}. \]
Далее:
\[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}. \]
Складываем:
\[ \frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3} =\frac{5\pi}{6}-\frac{2\pi}{6} =\frac{3\pi}{6} =\frac{\pi}{2}. \]
Второе выражение
\[ \arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}, \qquad \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}. \]
Значит:
\[ \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} =\frac{3\pi}{12}-\frac{4\pi}{12} =-\frac{\pi}{12}. \]
№ 128
а)
\[ \arctg1=\frac{\pi}{4},\qquad \arctg\sqrt3=\frac{\pi}{3}, \]
поэтому
\[ \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{12}. \]
б)
\[ \arctg1-\arctg(-1) =\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\pi}{2}. \]
в)
\[ \arctg(-\sqrt3)+\arctg0 =-\frac{\pi}{3}+0 =-\frac{\pi}{3}. \]
г)
\[ \arctg\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}, \qquad \arctg\sqrt3=\frac{\pi}{3}, \]
поэтому
\[ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{6} =\frac{\pi}{2}. \]
Главное при решении похожих примеров — сначала определить нужный промежуток угла, а затем пользоваться табличными значениями синуса, косинуса и тангенса.
Обсуждение
6 сообщений131 реши
№ 131 (в радианах)
\[ \text{а) }-\frac{2\pi}{3};\qquad \text{б) }\frac{23\pi}{6};\qquad \text{в) }\pi;\qquad \text{г) }-\frac{7\pi}{6}. \]
Подробно
Используем табличные значения обратных тригонометрических функций.
а)
\[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3},\quad \arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},\quad \arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}. \]
\[ 2\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4} =-\frac{2\pi}{3}. \]
б)
\[ \arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},\quad \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{3\pi}{4},\quad \arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}. \]
\[ 3\cdot\frac{\pi}{6}+4\cdot\frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{3}\right) =\frac{\pi}{2}+3\pi+\frac{\pi}{3} =\frac{23\pi}{6}. \]
в)
\[ \arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3},\quad \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6},\quad \arcsin1=\frac{\pi}{2}. \]
\[ -\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2} =\pi. \]
г)
\[ \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2},\quad \arccos\frac12=\frac{\pi}{3},\quad \arctg\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac{\pi}{6}. \]
\[ -\frac{\pi}{2}-\frac32\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} =-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} =-\frac{7\pi}{6}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\text{а) }-\frac{2\pi}{3};\quad \text{б) }\frac{23\pi}{6};\quad \text{в) }\pi;\quad \text{г) }-\frac{7\pi}{6}.} \]
131 реши
По фото № 131:
\[ \boxed{ \text{а) }-\frac{2\pi}{3};\qquad \text{б) }\frac{19\pi}{6};\qquad \text{в) }\pi;\qquad \text{г) }-\frac{7\pi}{6} } \]
Решение
а) \[ 2\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arctg(-1)+\arccos\frac{\sqrt2}{2} \] \[ =2\left(-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} =-\frac{2\pi}{3}. \]
б) \[ 3\arcsin\frac12+4\arccos\left(-\frac1{\sqrt2}\right)+\arctg(-\sqrt3) \] \[ =3\cdot\frac{\pi}{6}+4\cdot\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{2}+3\pi-\frac{\pi}{3} =\frac{19\pi}{6}. \]
в) \[ \arctg(-\sqrt3)+\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin1 \] \[ =-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2} =\pi. \]
г) \[ \arcsin(-1)-\frac32\arccos\frac12+\arctg\left(-\frac1{\sqrt3}\right) \] \[ =-\frac{\pi}{2}-\frac32\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} =-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} =-\frac{7\pi}{6}. \]
В пункте б) на фото перед \(\arctg\) стоит плюс, поэтому получается \(\frac{19\pi}{6}\). Если бы там был минус, вышло бы \(\frac{23\pi}{6}\).
141 реши
№ 141
\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а) }&x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ \text{б) }&x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;\\ \text{в) }&x=\frac{\pi}{6}+\pi n;\\ \text{г) }&x=\frac{\pi}{3}+\pi n. \end{aligned}} \]
Решение
а) \[ \tg x+\sqrt3=0 \Rightarrow \tg x=-\sqrt3, \] \[ x=\arctg(-\sqrt3)+\pi n=-\frac{\pi}{3}+\pi n. \]
б) \[ \ctg x+1=0 \Rightarrow \ctg x=-1, \] \[ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \] (это же можно записать как \(\frac{3\pi}{4}+\pi n\)).
в) \[ \sqrt3\,\tg x-1=0 \Rightarrow \tg x=\frac1{\sqrt3}, \] \[ x=\frac{\pi}{6}+\pi n. \]
г) \[ \sqrt3\,\ctg x-1=0 \Rightarrow \ctg x=\frac1{\sqrt3}, \] \[ x=\frac{\pi}{3}+\pi n. \]
Во всех ответах \(n\in\mathbb Z\).
