Задача Задача №3761672
А
А
120 полностью
Краткий ответ
а) \(t=-\dfrac{\pi}{4}\)
б) \(t=\dfrac{\pi}{6}\)
в) \(t=\dfrac{\pi}{3}\)
г) \(t=\dfrac{3\pi}{4}\)
Как это получается
У тангенса и котангенса период \(\pi\), поэтому все решения имеют вид:
\[ t=\alpha+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]
Остаётся выбрать те значения, которые попадают в заданный промежуток.
| Пример | Общее решение | Подходит |
|---|---|---|
| а) \(\operatorname{tg}t=-1\) | \(t=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k\) | \(t=-\dfrac{\pi}{4}\) |
| б) \(\operatorname{ctg}t=\sqrt3\) | \(t=\dfrac{\pi}{6}+\pi k\) | \(t=\dfrac{\pi}{6}\) |
| в) \(\operatorname{tg}t=\sqrt3\) | \(t=\dfrac{\pi}{3}+\pi k\) | \(t=\dfrac{\pi}{3}\) |
| г) \(\operatorname{ctg}t=-1\) | \(t=\dfrac{3\pi}{4}+\pi k\) | \(t=\dfrac{3\pi}{4}\) |
Можно рассуждать и по четвертям:
- тангенс отрицателен в IV четверти, поэтому для а) берём \(-\frac{\pi}{4}\);
- котангенс положителен в I четверти, поэтому для б) берём \(\frac{\pi}{6}\);
- тангенс положителен в I четверти, поэтому для в) берём \(\frac{\pi}{3}\);
- котангенс отрицателен во II четверти, поэтому для г) берём \(\frac{3\pi}{4}\).
Проверка:
\(\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})=-1\), \(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\sqrt3\), \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3\), \(\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}=-1\). Все ответы попадают в указанные промежутки.
