Реши задание на изображении
На фото полностью читаются задания 64(а, б) и 65(а, б); верхняя строка обрезана, её не решаю.
Краткий ответ
64.
а) \(x^2+6x<0\)
\[
x\in(-6;\,0)
\]
б) \(x^2-7x>0\)
\[
x\in(-\infty;\,0)\cup(7;\,+\infty)
\]
65.
а) \((x-2)(x-4)(x-9)>0\)
\[
x\in(2;\,4)\cup(9;\,+\infty)
\]
б) \((x+9)(x+1)(x-3)\le 0\)
\[
x\in(-\infty;\,-9]\cup[-1;\,3]
\]
Как это получается
Главное правило метода интервалов:
- Разложить выражение на множители.
- Найти нули — точки, где выражение равно \(0\).
- Отметить их на числовой прямой.
- Определить знак выражения на каждом промежутке.
- Выбрать нужные промежутки.
- при строгом \(<\) или \(>\) концы не включаются, скобки круглые;
- при \(\le\) или \(\ge\) концы включаются, скобки квадратные.
64(а)
\[ x^2+6x=x(x+6) \]
Нули: \(x=0\) и \(x=-6\). Парабола ветвями вверх, значит ниже оси она находится между корнями:
\[ -6<x<0 \]
Ответ:
\[
(-6;\,0)
\]
Проверка: возьмём \(x=-3\):
\[ 9-18=-9<0 \]
Верно.
64(б)
\[ x^2-7x=x(x-7)>0 \]
Нули: \(0\) и \(7\). Произведение положительно снаружи промежутка между корнями:
\[ x<0 \quad \text{или} \quad x>7 \]
Ответ:
\[
(-\infty;\,0)\cup(7;\,+\infty)
\]
Проверка: при \(x=8\):
\[ 64-56=8>0 \]
65(а)
\[ (x-2)(x-4)(x-9)>0 \]
Нули:
\[ 2,\quad 4,\quad 9 \]
Знаки по промежуткам:
\[ \begin{array}{c|cccc} & (-\infty;2) & (2;4) & (4;9) & (9;+\infty)\\ \hline \text{знак} & - & + & - & + \end{array} \]
Нужны промежутки со знаком «\(+\)», так как неравенство \(>0\):
\[ (2;\,4)\cup(9;\,+\infty) \]
Концы не включаем: неравенство строгое.
65(б)
\[ (x+9)(x+1)(x-3)\le 0 \]
Нули:
\[ -9,\quad -1,\quad 3 \]
Знаки:
\[ \begin{array}{c|cccc} & (-\infty;-9) & (-9;-1) & (-1;3) & (3;+\infty)\\ \hline \text{знак} & - & + & - & + \end{array} \]
Нужны промежутки, где выражение \(\le 0\), то есть «\(- \)» и сами нули:
\[ (-\infty;\,-9]\cup[-1;\,3] \]
Концы включаем, потому что стоит знак \(\le\).
Что запомнить
Для похожего задания:
- разложи на множители;
- найди все нули;
- расставь знаки на промежутках;
- выбирай промежутки с нужным знаком;
- проверь, нужно ли включать концы.
