115 ответ
Краткий ответ
- а) \(x\in\left(-\infty;-\dfrac52\right]\cup[1;+\infty)\)
б) \(x\in[-2;3]\)
в) \(x\in(-\infty;-\sqrt5]\cup[\sqrt5;+\infty)\)
Как решать такие неравенства
- Находим корни соответствующего квадратного уравнения.
- Смотрим на знак коэффициента при \(x^2\):
- если он положительный, ветви параболы направлены вверх;
- если отрицательный — вниз.
- Выбираем нужные промежутки по знаку неравенства.
- Если неравенство нестрогое (\(\ge\) или \(\le\)), корни входят в ответ.
а)
\[
2x^2+3x-5\ge0
\]
\[
D=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49
\]
\[
x_{1,2}=\frac{-3\pm7}{4}
\]
\[
x_1=1,\qquad x_2=-\frac52
\]
Ветви параболы вверх, нужны значения \(\ge0\), значит берём промежутки вне корней: \[ \left(-\infty;-\frac52\right]\cup[1;+\infty) \]
б)
\[
-6x^2+6x+36\ge0
\]
Разделим на \(-6\), при этом знак неравенства меняется: \[ x^2-x-6\le0 \]
Корни: \[ x^2-x-6=0 \] \[ x_1=3,\qquad x_2=-2 \]
Парабола ветвями вверх, нужна часть \(\le0\), то есть между корнями: \[ [-2;3] \]
Проверка: при \(x=0\) \[ -6\cdot0+6\cdot0+36=36\ge0 \] верно.
в)
\[
-x^2+5\le0
\]
Умножим на \(-1\) и поменяем знак: \[ x^2-5\ge0 \] \[ x^2\ge5 \] \[ x\le-\sqrt5\quad\text{или}\quad x\ge\sqrt5 \]
Ответ: \[ (-\infty;-\sqrt5]\cup[\sqrt5;+\infty) \]
Главное правило: при умножении или делении неравенства на отрицательное число его знак обязательно меняется на противоположный.
