Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Как рассуждать:

Уравнение приведённое: коэффициент при \(x^2\) равен \(1\). Поэтому можно искать разложение

\[ x^2-5x+6=(x-m)(x-n). \]

После раскрытия скобок:

\[ (x-m)(x-n)=x^2-(m+n)x+mn. \]

Сравниваем с уравнением:

\[ m+n=5,\qquad mn=6. \]

Нужны два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении — \(6\). Это \(2\) и \(3\). Значит,

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Получаем:

\[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0, \]

откуда

\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]

Проверка:

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Принцип: для уравнения \(x^2+px+q=0\) часто удобно найти два числа, сумма которых равна \(-p\), а произведение — \(q\). Это разложение по теореме Виета.