Реши вариант

Краткие ответы

1. 7776
2. 60
3. 140
4. 2520
5. 792

---

№1

Считаем, что номер составляется из цифр \(2,3,4,5,6,7\), причём цифры могут повторяться — как обычно в телефонных номерах.

На каждой из 5 позиций можно поставить любую из 6 цифр:

\[ 6^5=7776 \]

Ответ: 7776.

---

№2

Последняя цифра уже фиксирована — это \(2\). Значит, цифру \(2\) больше использовать нельзя.

Остаются цифры:

\[ 3,5,6,7,8 \]

На первое место можно поставить любую из 5 цифр, на второе — любую из оставшихся 4, на третье — любую из оставшихся 3:

\[ 5\cdot4\cdot3=60 \]

Это то же самое, что размещения:

\[ A_5^3=\frac{5!}{(5-3)!}=60 \]

Ответ: 60.

---

№3

\[ \frac{5!\cdot 7!}{6!\cdot 3!} = \frac{5!}{3!}\cdot\frac{7!}{6!} \]

Считаем по частям:

\[ \frac{5!}{3!}=5\cdot4=20 \]

\[ \frac{7!}{6!}=7 \]

Тогда:

\[ 20\cdot7=140 \]

Ответ: 140.

---

№4

Сначала выбираем 5 девочек из 8. Порядок не важен, поэтому используем сочетания:

\[ C_8^5=\frac{8!}{5!3!}=56 \]

Теперь выбираем 8 мальчиков из 10:

\[ C_{10}^8=C_{10}^2=\frac{10!}{8!2!}=45 \]

Общее число способов:

\[ 56\cdot45=2520 \]

Ответ: 2520.

---

№5

Нужно выбрать 5 человек из 12 — остальные 7 автоматически образуют вторую группу:

\[ C_{12}^5=\frac{12!}{5!7!}=792 \]

Делить на 2 не нужно: группы разного размера, поэтому они различаются по размеру, и каждая группа из 5 человек задаёт разбиение однозначно.

Ответ: 792.

---

Что важно запомнить:

• если порядок важен — используем размещения;
• если порядок не важен — используем сочетания;
• \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\);
• при независимом выборе нескольких групп количества способов перемножаются.