Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (устно). Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3:

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3\]

Способ 2. Через дискриминант (универсальный). Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=6\):

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0\]

\(D>0\) — значит, два разных корня:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}\] \[x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3\]

Способ 3. Теорема Виета (работает только при \(a=1\)): \(x_1+x_2=5\), \(x_1\cdot x_2=6\) — подбором снова 2 и 3.

Проверка

• \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔
• \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔

Принцип, который стоит запомнить

1. Квадратное уравнение приводим к виду \(ax^2+bx+c=0\).
2. Считаем \(D=b^2-4ac\): если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
3. Подставляем в \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) и всегда проверяем подстановкой — так ловятся ошибки в знаках.

Полезная привычка: сначала пробуй разложение по Виету (если \(a=1\) и числа небольшие) — это быстрее, а дискриминант держи как надёжный запасной путь.