Реши задание на изображении
Краткие ответы
- а) \(32\); б) \(4\)
- \(5\sqrt2\)
- \(\sqrt{18}\)
- \(7\sqrt2\)
- \(4\sqrt3>3\sqrt5\)
- \(\sqrt a-\sqrt5\) при \(a\ge0\)
- \(\sqrt7+\sqrt3\)
Как это получается
1. Вычислите выражение
а) \(\sqrt{0{,}25}\cdot64\).
\(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\), поэтому
\[
0{,}5\cdot64=32.
\]
Если бы корень накрывал всё произведение, было бы \(\sqrt{0{,}25\cdot64}=\sqrt{16}=4\). На фото черта корня стоит только над \(0{,}25\).
б)
\[
\frac{\sqrt{48}}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{16}=4.
\]
Использовали правило \(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}\) при \(b>0\).
2. Вынесите множитель из-под корня
Ищем среди множителей числа \(50\) полный квадрат: \[ 50=25\cdot2. \] Тогда \[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2. \]
3. Внесите множитель под знак корня
Это действие, обратное вынесению: \[ 3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{18}. \] Множитель \(3\) положительный, поэтому знак перед корнем не меняется.
4. Упростите выражение
Сначала вынесем множители: \[ 2\sqrt{18}=2\cdot3\sqrt2=6\sqrt2, \] \[ 3\sqrt8=3\cdot2\sqrt2=6\sqrt2, \] \[ \sqrt{50}=5\sqrt2. \] Теперь складываем подобные радикалы: \[ 2\sqrt{18}+3\sqrt8-\sqrt{50} =6\sqrt2+6\sqrt2-5\sqrt2 =(6+6-5)\sqrt2=7\sqrt2. \]
5. Сравните числа
Внесём оба множителя под корень: \[ 4\sqrt3=\sqrt{16\cdot3}=\sqrt{48}, \] \[ 3\sqrt5=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}. \] Так как \(48>45\), то \[ \sqrt{48}>\sqrt{45}, \] значит, \[ 4\sqrt3>3\sqrt5. \]
6. Сократите дробь
Замечаем разность квадратов: \[ a-5=(\sqrt a)^2-(\sqrt5)^2 =(\sqrt a-\sqrt5)(\sqrt a+\sqrt5). \] Тогда \[ \frac{a-5}{\sqrt a+\sqrt5} = \frac{(\sqrt a-\sqrt5)(\sqrt a+\sqrt5)}{\sqrt a+\sqrt5} =\sqrt a-\sqrt5. \] Область определения: \(a\ge0\). Знаменатель \(\sqrt a+\sqrt5\neq0\), поэтому сокращать можно.
7. Избавьтесь от иррациональности
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt7+\sqrt3\): \[ \frac{4}{\sqrt7-\sqrt3} = \frac{4(\sqrt7+\sqrt3)} {(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)} = \frac{4(\sqrt7+\sqrt3)}{7-3} = \frac{4(\sqrt7+\sqrt3)}{4} = \sqrt7+\sqrt3. \]
Проверка
- В п. 4: \(7\sqrt2\approx9{,}90\); исходное выражение даёт примерно столько же.
- В п. 5: \(4\sqrt3\approx6{,}93\), \(3\sqrt5\approx6{,}71\), значит, первое число больше.
- В п. 7: \(\sqrt7+\sqrt3\approx4{,}38\), и исходная дробь тоже \(\approx4{,}38\).
Что важно запомнить:
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\), \(\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\), вынесение и внесение множителя — взаимно обратные действия, а от иррациональности в знаменателе избавляются умножением на сопряжённое.
Обсуждение
2 сообщенияЭто вариант 2 по той же теме. Решение:
1.
а) Если корень стоит только над \(0{,}49\), как на фото:
\[
\sqrt{0{,}49}\cdot36=0{,}7\cdot36=25{,}2.
\]
Если же под корнем всё произведение \(0{,}49\cdot36\), то:
\[
\sqrt{0{,}49\cdot36}=0{,}7\cdot6=4{,}2.
\]
б) \[ \frac{\sqrt{72}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6. \]
2. \[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2. \]
3. \[ 4\sqrt3=\sqrt{4^2\cdot3}=\sqrt{16\cdot3}=\sqrt{48}. \]
4. \[ 3\sqrt{12}-\sqrt{27}+2\sqrt{48} =6\sqrt3-3\sqrt3+8\sqrt3 =11\sqrt3. \]
5. Внесём множители под корень: \[ 5\sqrt2=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{50}, \] \[ 2\sqrt{11}=\sqrt{4\cdot11}=\sqrt{44}. \] Так как \(50>44\), то \[ 5\sqrt2>2\sqrt{11}. \]
6. \[ \frac{x-3}{\sqrt x-\sqrt3} = \frac{(\sqrt x-\sqrt3)(\sqrt x+\sqrt3)}{\sqrt x-\sqrt3} = \sqrt x+\sqrt3. \] Область допустимых значений: \(x\ge0,\ x\ne3\).
7. \[ \frac{3}{\sqrt5+\sqrt2} = \frac{3(\sqrt5-\sqrt2)}{(\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2)} = \frac{3(\sqrt5-\sqrt2)}{5-2} = \sqrt5-\sqrt2. \]
Ответы:
- а) \(25{,}2\) — или \(4{,}2\), если корень над всем произведением; б) \(6\).
- \(6\sqrt2\).
- \(\sqrt{48}\).
- \(11\sqrt3\).
- \(5\sqrt2>2\sqrt{11}\).
- \(\sqrt x+\sqrt3\), где \(x\ge0,\ x\ne3\).
- \(\sqrt5-\sqrt2\).
