Реши со всеми чертежами

Краткий ответ

1. \(y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4\).
   а) при \(x=0{,}5\): \(y=2{,}25\);
   б) при \(y=-1\): \(x=3\pm\sqrt3\approx1{,}27\) и \(4{,}73\);
   в) нули: \(x=1\), \(x=5\);
   \(y>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\),
   \(y<0\) при \(x\in(1;5)\);
   г) возрастает на \([3;+\infty)\).

2. Наименьшее значение: \(-9\).

3. Область значений: \([-22;3]\).

4. Да, пересекаются в двух точках: \((4;4)\) и \((16;64)\).

5. Значение выражения: \(\dfrac{37}{2}=18{,}5\).

---

Подробное решение

1. График \(y=x^2-6x+5\)

Выделим полный квадрат:

\[ x^2-6x+5=(x^2-6x+9)-4=(x-3)^2-4. \]

Значит, вершина параболы:

\[ (3;-4), \]

ветви направлены вверх, ось симметрии \(x=3\).

Для чертежа возьмём точки:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline y&5&0&-3&-4&-3&0&5 \end{array} \]

Дополнительно можно отметить \((0{,}5;2{,}25)\) и \((5{,}5;2{,}25)\).

Схема графика:

       y
5  ●(0;5)                         ●(6;5)
4   ╲                           ╱
3    ╲                         ╱
2     ╲                       ╱
1      ╲                     ╱
0  ─────●(1;0)─────────●(5;0)──── x
-1      ╲             ╱
-2       ╲           ╱
-3        ●(2;-3) ●(4;-3)
-4             ●(3;-4)

Линии нужно провести плавно — это парабола.

а) \(x=0{,}5\)

Подставляем:

\[ y=0{,}5^2-6\cdot0{,}5+5=0{,}25-3+5=2{,}25. \]

По графику: при \(x=0{,}5\) ордината примерно \(2{,}3\), точное значение \(2{,}25\).

б) \(y=-1\)

Проводим горизонтальную прямую \(y=-1\). Она пересекает параболу в двух точках:

\[ x^2-6x+5=-1, \]

\[ x^2-6x+6=0, \]

\[ x=3\pm\sqrt3. \]

То есть

\[ x_1\approx1{,}27,\qquad x_2\approx4{,}73. \]

в) Нули и знаки функции

Нули функции:

\[ x^2-6x+5=0, \]

\[ (x-1)(x-5)=0, \]

\[ x=1,\quad x=5. \]

Так как ветви параболы направлены вверх:

\[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty), \]

\[ y<0 \text{ при } x\in(1;5). \]

г) Возрастание

Вершина находится в точке \(x=3\). Правее вершины парабола возрастает:

\[ [3;+\infty). \]

---

2. Наименьшее значение \(y=x^2-8x+7\)

Выделим полный квадрат:

\[ x^2-8x+7=(x-4)^2-9. \]

Так как \((x-4)^2\ge0\), наименьшее значение:

\[ -9. \]

Оно достигается при \(x=4\).

---

3. Область значений \(y=x^2-6x-13\), где \(x\in[-2;7]\)

Преобразуем:

\[ y=x^2-6x-13=(x-3)^2-22. \]

Вершина:

\[ (3;-22). \]

Точка \(x=3\) входит в промежуток \([-2;7]\), поэтому минимум равен \(-22\).

Проверим концы:

\[ y(-2)=(-2)^2-6\cdot(-2)-13=4+12-13=3, \]

\[ y(7)=49-42-13=-6. \]

Значит, наибольшее значение на промежутке равно \(3\), а наименьшее \(-22\).

Ответ:

\[ [-22;3]. \]

---

4. Пересечение параболы и прямой

Дано:

\[ y=\frac14x^2,\qquad y=5x-16. \]

Приравниваем:

\[ \frac14x^2=5x-16. \]

Умножим на \(4\):

\[ x^2=20x-64, \]

\[ x^2-20x+64=0. \]

Разложим:

\[ (x-4)(x-16)=0. \]

Значит:

\[ x=4 \quad \text{или}\quad x=16. \]

Находим ординаты:

При \(x=4\):

\[ y=\frac14\cdot16=4. \]

При \(x=16\):

\[ y=\frac14\cdot256=64. \]

Точки пересечения:

\[ (4;4),\qquad (16;64). \]

Проверка по прямой:

\[ 5\cdot4-16=4, \]

\[ 5\cdot16-16=64. \]

Всё сходится.

---

5. Значение выражения

\[ \sqrt[3]{-3\frac38}+12\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}. \]

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\[ -3\frac38=-\frac{27}{8}, \]

\[ 7\frac{58}{81}=\frac{625}{81}. \]

Тогда:

\[ \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac32, \]

так как \(\left(-\frac32\right)^3=-\frac{27}{8}\).

Далее:

\[ \sqrt[4]{\frac{625}{81}}=\frac53, \]

так как \(5^4=625\), \(3^4=81\).

Получаем:

\[ -\frac32+12\cdot\frac53= -\frac32+20= \frac{37}{2}=18{,}5. \]

Ответ:

\[ 18{,}5. \]

---

Что важно понять

Для квадратичной функции полезно сразу выделять полный квадрат:

\[ y=a(x-x_0)^2+y_0. \]

Тогда \((x_0;y_0)\) — вершина параболы. Это помогает строить график, находить минимум или максимум и область значений.