реши 3
Краткий ответ
а) \(x^2-16\ge 0\)
\[ x\in(-\infty;-4]\cup[4;+\infty) \]
б) \(-m^2-8m+9\ge 0\)
\[ m\in[-9;1] \]
Как решать
- Находим нули выражения — решаем соответствующее уравнение.
- Отмечаем корни на числовой прямой.
- Определяем знаки выражения на промежутках.
- Для нестрогого неравенства \(\ge\) или \(\le\) корни включаем в ответ.
а)
\[
x^2-16=0 \Rightarrow x=\pm 4
\]
Разложим:
\[
x^2-16=(x-4)(x+4)
\]
Парабола ветвями вверх, значит выражение неотрицательно вне корней:
\[
(-\infty;-4]\cup[4;+\infty)
\]
б)
Умножим неравенство на \(-1\). При этом знак меняется:
\[
-m^2-8m+9\ge0
\]
\[
m^2+8m-9\le0
\]
Найдём корни:
\[
m^2+8m-9=0
\]
\[
m_1=-9,\quad m_2=1
\]
Разложение:
\[
(m+9)(m-1)\le0
\]
Парабола ветвями вверх, выражение меньше или равно нулю между корнями:
\[
[-9;1]
\]
Проверка:
В пункте а) \(x=0\) не подходит: \(-16\ge0\) — неверно.
В пункте б) \(m=0\) подходит: \(9\ge0\) — верно.
Обсуждение
2 сообщенияГрафик на 3
Графики к заданию 3
Напомню, что решали:
а) \(x^2-16\ge 0\), б) \(-m^2-8m+9\ge 0\).
Смысл графического способа: строим параболу \(y=\text{левая часть}\) и смотрим, где она лежит выше оси \(Ox\) или на ней — это и есть ответ.
а) \(y=x^2-16\)
Таблица значений:
| \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(0\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(9\) | \(0\) | \(-7\) | \(-16\) | \(-7\) | \(0\) | \(9\) |
Вершина — \((0;-16)\), ветви вверх, нули в точках \(-4\) и \(4\).
y
↑
╲ │ ╱
╲ │ ╱
────╲──┼──╱────→ x
−4 │ 4
╲│╱
● (0; −16)
Выше оси парабола при \(x\le -4\) и при \(x\ge 4\):
╱╱╱╱╱╱●────────●╱╱╱╱╱╱
−4 4
Ответ: \(x\in(-\infty;-4]\cup[4;+\infty)\).
б) \(y=-m^2-8m+9\)
Таблица значений:
| \(m\) | \(-9\) | \(-7\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(0\) | \(16\) | \(24\) | \(25\) | \(24\) | \(16\) | \(9\) | \(0\) |
Вершина — \((-4;25)\), ветви вниз, нули в точках \(-9\) и \(1\).
● (−4; 25)
╱ ╲
╱ ╲
──╱───────────╲──→ m
−9 −4 1
Выше оси (и на ней) парабола только между корнями:
────────●╱╱╱╱╱╱╱●────────
−9 1
Ответ: \(m\in[-9;1]\).
Как оформить в тетради: начерти оси, отметь нули и вершину, проведи параболу через эти точки и заштрихуй (или обведи жирным) ту часть параболы, которая находится над осью \(Ox\) — а под ней подпиши соответствующий промежуток.
