Оформи задачу с дано найти и решение

Принимаю \(g=9{,}8\) м/с². Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

1

Дано:
\(v_0=10\) м/с; \(l=4{,}9\) м.
Найти: \(h\).

Решение:
\[ t=\frac{l}{v_0}=\frac{4{,}9}{10}=0{,}49\ \text{с} \] \[ h=\frac{gt^2}{2} =\frac{9{,}8\cdot0{,}49^2}{2}\approx1{,}2\ \text{м} \]

Ответ: \(h\approx1{,}2\) м.

2

Дано:
\(v_0=15\) м/с; скорость направлена под углом \(45^\circ\) к горизонту.
Найти: \(t\).

Решение:
При броске горизонтально: \[ v_x=v_0,\qquad v_y=gt \] При \(45^\circ\): \[ v_y=v_x \] \[ gt=v_0 \] \[ t=\frac{v_0}{g}=\frac{15}{9{,}8}\approx1{,}5\ \text{с} \]

Ответ: \(t\approx1{,}5\) с.

3

Дано:
\(v_0=10\) м/с; \(\alpha=30^\circ\).
Найти: \(v_{0x},v_{0y},H,T,L\).

Решение:
\[ v_{0x}=v_0\cos30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt3}{2} =5\sqrt3\approx8{,}7\ \text{м/с} \] \[ v_{0y}=v_0\sin30^\circ=10\cdot\frac12=5\ \text{м/с} \]

Высота подъёма: \[ H=\frac{v_{0y}^2}{2g} =\frac{25}{19{,}6}\approx1{,}3\ \text{м} \]

Время полёта: \[ T=\frac{2v_{0y}}{g} =\frac{10}{9{,}8}\approx1{,}02\ \text{с} \]

Дальность полёта: \[ L=v_{0x}T\approx8{,}66\cdot1{,}02\approx8{,}8\ \text{м} \]

Ответ:
а) \(v_{0x}\approx8{,}7\) м/с, \(v_{0y}=5\) м/с;
б) \(H\approx1{,}3\) м;
в) \(T\approx1{,}02\) с;
г) \(L\approx8{,}8\) м.

4

Дано:
\(T=2\) с; бросок и ловля на одном уровне.
Найти: \(H_{\max}\).

Решение:
\[ T=\frac{2v_{0y}}{g} \] \[ v_{0y}=\frac{gT}{2}=\frac{9{,}8\cdot2}{2}=9{,}8\ \text{м/с} \] \[ H_{\max}=\frac{v_{0y}^2}{2g} =\frac{9{,}8^2}{2\cdot9{,}8} =4{,}9\ \text{м} \]

Ответ: \(H_{\max}=4{,}9\) м.

№1

Дано:
\(v_1=72\ \text{км/ч}=20\ \text{м/с}\);
\(L=290\ \text{м}\);
\(t=10\ \text{с}\).

Найти:
\(v_{\text{отн}}\) — скорость встречного поезда относительно пассажира;
\(v_2\) — скорость встречного поезда относительно Земли.

Решение:
Относительная скорость: \[ v_{\text{отн}}=\frac{L}{t}=\frac{290}{10}=29\ \text{м/с}. \]

Поезда движутся навстречу, поэтому: \[ v_{\text{отн}}=v_1+v_2. \] \[ v_2=v_{\text{отн}}-v_1=29-20=9\ \text{м/с}. \]

Ответ: относительно пассажира — \(29\ \text{м/с}\); относительно Земли — \(9\ \text{м/с}\).

№2

Дано:
\(v_1=10\ \text{м/с}\) — скорость первого поезда;
\(v_2=20\ \text{м/с}\) — скорость второго поезда;
\(L_2=200\ \text{м}\) — длина второго поезда;
\(t_1=20\ \text{с}\) — время прохождения первого поезда мимо пассажира.

Найти:
\(t_2\) — время, за которое второй поезд обогнал бы первый при движении в одном направлении.

Решение:
При встречном движении относительная скорость: \[ v_{\text{отн}}=v_1+v_2=10+20=30\ \text{м/с}. \]

Длина первого поезда: \[ L_1=v_{\text{отн}}t_1=30\cdot20=600\ \text{м}. \]

При движении в одном направлении относительная скорость: \[ v'_{\text{отн}}=v_2-v_1=20-10=10\ \text{м/с}. \]

Чтобы второй поезд обогнал первый, он должен пройти суммарную длину: \[ L=L_1+L_2=600+200=800\ \text{м}. \]

Тогда: \[ t_2=\frac{L}{v'_{\text{отн}}} =\frac{800}{10}=80\ \text{с}. \]

Ответ: \(80\ \text{с}=1\ \text{мин}\ 20\ \text{с}\).

№3

Дано:
\(v_{\text{вагона}}=54\ \text{км/ч}=15\ \text{м/с}\);
\(d=2{,}4\ \text{м}\) — ширина вагона;
\(s=6\ \text{см}=0{,}06\ \text{м}\) — смещение отверстий.

Найти:
\(v_{\text{пули}}\).

Решение:
За время полёта пули через вагон поезд проходит расстояние \(s\). Это время: \[ t=\frac{s}{v_{\text{вагона}}} =\frac{0{,}06}{15}=0{,}004\ \text{с}. \]

Пуля пролетает ширину вагона \(d\): \[ v_{\text{пули}}=\frac{d}{t} =\frac{2{,}4}{0{,}004}=600\ \text{м/с}. \]

Ответ: \(600\ \text{м/с}\).

Ниже — решения упражнений 1–4. При расчётах \(\pi\approx3{,}14\), \(\sqrt2\approx1{,}41\).

№1

Дано:
\(R=5\) см.
Найти: путь \(l\) и модуль перемещения \(s\) за:
а) \(\frac14\) оборота; б) \(\frac12\) оборота; в) \(2{,}5\) оборота.

Решение:
Угол поворота: \[ \varphi=2\pi n. \] Путь: \[ l=R\varphi=2\pi Rn. \] Модуль перемещения: \[ s=2R\left|\sin\frac{\varphi}{2}\right|. \]

а) \(n=\frac14\): \[ l=2\pi\cdot5\cdot\frac14\approx7{,}85\ \text{см}, \] \[ s=2\cdot5\cdot\sin45^\circ=5\sqrt2\approx7{,}07\ \text{см}. \]

б) \(n=\frac12\): \[ l=\pi R=5\pi\approx15{,}7\ \text{см}, \] \[ s=2R=10\ \text{см}. \]

в) \(n=2{,}5\): \[ l=2\pi\cdot5\cdot2{,}5=25\pi\approx78{,}5\ \text{см}, \] \[ s=2R=10\ \text{см}. \]

Ответ:
а) \(l\approx7{,}85\) см, \(s\approx7{,}07\) см;
б) \(l\approx15{,}7\) см, \(s=10\) см;
в) \(l\approx78{,}5\) см, \(s=10\) см.

№2

Дано:
Секундная, минутная и часовая стрелки часов.
Найти: период \(T\) и частоту обращения \(\nu\).

Решение:
\[ \nu=\frac1T. \]

Ответ:
секундная: \(T=60\) с, \(\nu\approx0{,}0167\) Гц;
минутная: \(T=3600\) с, \(\nu\approx2{,}78\cdot10^{-4}\) Гц;
часовая: \(T=43200\) с, \(\nu\approx2{,}31\cdot10^{-5}\) Гц.

№3

Дано:
\(R=3{,}5\) м; минутная стрелка делает полный оборот за \(60\) мин.
Найти: модуль перемещения \(s\) и путь \(l\) конца стрелки за:
а) \(30\) мин; б) \(15\) мин; в) \(10\) мин.

Решение:
За \(t\) минут стрелка поворачивается на угол \[ \varphi=2\pi\frac{t}{60}. \] Путь: \[ l=R\varphi. \] Модуль перемещения: \[ s=2R\left|\sin\frac{\varphi}{2}\right|. \]

а) \(t=30\) мин, \(\varphi=\pi\): \[ l=\pi R=3{,}5\pi\approx11{,}0\ \text{м}, \] \[ s=2R=7{,}0\ \text{м}. \]

б) \(t=15\) мин, \(\varphi=\frac{\pi}{2}\): \[ l=R\cdot\frac{\pi}{2}\approx5{,}50\ \text{м}, \] \[ s=R\sqrt2\approx4{,}95\ \text{м}. \]

в) \(t=10\) мин, \(\varphi=\frac{\pi}{3}\): \[ l=R\cdot\frac{\pi}{3}\approx3{,}67\ \text{м}, \] \[ s=2R\sin30^\circ=R=3{,}5\ \text{м}. \]

Ответ:
а) \(s=7{,}0\) м, \(l\approx11{,}0\) м;
б) \(s\approx4{,}95\) м, \(l\approx5{,}50\) м;
в) \(s=3{,}5\) м, \(l\approx3{,}67\) м.

№4

Дано:
\(R=2\) м;
\(n=40\) об/мин.
Найти:
\(a_{\text{ц}}\) — центростремительное ускорение;
\(\nu'\) — частоту, при которой \(a'_{\text{ц}}=2a_{\text{ц}}\).

Решение:
Переведём частоту в об/с: \[ \nu=\frac{40}{60}=\frac23\ \text{об/с}\approx0{,}667\ \text{Гц}. \]

Угловая скорость: \[ \omega=2\pi\nu=\frac{4\pi}{3}\ \text{рад/с}. \]

Центростремительное ускорение: \[ a_{\text{ц}}=\omega^2R =\left(\frac{4\pi}{3}\right)^2\cdot2 =\frac{32\pi^2}{9} \approx35{,}1\ \text{м/с}^2. \]

Так как \(a_{\text{ц}}\sim\nu^2\), то для увеличения ускорения в 2 раза частота должна увеличиться в \(\sqrt2\) раз: \[ \nu'=\nu\sqrt2=\frac23\sqrt2\approx0{,}943\ \text{Гц}. \] В оборотах в минуту: \[ n'=40\sqrt2\approx56{,}6\ \text{об/мин}. \]

Ответ:
\(a_{\text{ц}}\approx35{,}1\ \text{м/с}^2\);
\(\nu'\approx0{,}94\ \text{Гц}\) \(\left(\approx56{,}6\ \text{об/мин}\right)\).