Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\(x_1 = 2,\quad x_2 = 3\) (можно записать в любом порядке).
Как это получается
Способ 1. Через дискриминант (работает всегда)
Общий вид уравнения: \(ax^2 + bx + c = 0\). Здесь \(a = 1,\ b = -5,\ c = 6\).
Находим дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1\]Так как \(D > 0\), корней два, и они считаются по формуле:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}\]Считаем каждый корень:
\[x_1 = \frac{5+1}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{5-1}{2} = 2\]
Способ 2. Через теорему Виета (быстрее, если \(a = 1\))
Для приведённого уравнения сумма корней равна \(-b\), а произведение равно \(c\):
\[x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6\]Подбираем два числа: это \(2\) и \(3\).
Способ 3. Разложение на множители
Если корни \(2\) и \(3\), то выражение раскладывается так:
\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\]Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x = 2\) или \(x = 3\).
Проверка
- \(x = 3\): \(9 - 15 + 6 = 0\) ✓
- \(x = 2\): \(4 - 10 + 6 = 0\) ✓
Что важно запомнить
- Знак \(b\) подставляется вместе с минусом: \(b = -5\), поэтому \(-b = 5\), а \(b^2 = 25\) (минус в квадрате исчезает).
- \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один, \(D < 0\) — корней нет (в школьной программе).
- Виета экономит время, но только когда старший коэффициент равен \(1\) и корни — целые числа.
Обсуждение
4 сообщенияРеши x² + 2x − 15 = 0
Краткий ответ
\(x_1 = 3,\quad x_2 = -5\)
Решение через дискриминант
Здесь \(a = 1,\ b = 2,\ c = -15\).
Дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot 1\cdot (-15) = 4 + 60 = 64\]Так как \(D > 0\), корней два:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2}\]Считаем:
\[x_1 = \frac{-2+8}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{-2-8}{2} = -5\]
Проверка по теореме Виета
\[x_1 + x_2 = 3 + (-5) = -2 = -b \ ✓\] \[x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-5) = -15 = c \ ✓\]Значит, разложение на множители: \(x^2 + 2x - 15 = (x-3)(x+5)\).
Проверка подстановкой
- \(x = 3\): \(9 + 6 - 15 = 0\) ✓
- \(x = -5\): \(25 - 10 - 15 = 0\) ✓
На что обратить внимание
Главное отличие от прошлого примера — свободный член отрицательный (\(c = -15\)). Поэтому в дискриминанте получается \(4 - 4\cdot(-15) = 4 + 60\), то есть минус на минус даёт плюс, и \(D\) оказался больше. А корни разных знаков — это как раз признак того, что \(c < 0\) (произведение отрицательно).
Реши уак пртскр
Не разобрал текст — похоже, он набран с опечатками. Ты имел в виду «реши уравнение»? Пришли само уравнение (или фото задания), и я решу его с объяснением.
