Сделай второй вариант и объясни

Ты прав — если в №6 уравнение такое:

\[ |y+3|=6, \]

то ответы \(y=3\) и \(y=-9\), а не \(\pm 3\). Я в прошлом ответе прочитал №6 как \(|y|+3=6\) — это другое уравнение, и оно даёт как раз \(y=\pm3\). Извини за путаницу.

Почему появляется \(-9\)

Модуль — это расстояние. \(|y+3|=|y-(-3)|\) — расстояние от \(y\) до числа \(-3\). Оно равно 6, значит \(y\) стоит на 6 единиц левее или правее \(-3\):

\[ y=-3+6=3 \quad \text{или} \quad y=-3-6=-9. \]

Через два случая (так оформляют в тетради)

\[ y+3=6 \;\Rightarrow\; y=3; \] \[ y+3=-6 \;\Rightarrow\; y=-9. \]

Проверка

\[ |3+3|=|6|=6,\qquad |-9+3|=|-6|=6. \]

Оба корня подходят.

Главное

Когда модуль равен положительному числу, выражение внутри модуля равно и этому числу, и противоположному ему — второй случай забывать нельзя, именно он и даёт «отрицательный» корень \(-9\).

Итог по №6: \(\;y=-9;\ 3\).

Разберём №8 по шагам.

Уравнение:

\[ |3y+1|+2=7 \]

Шаг 1. Освобождаем модуль

Пока справа стоит \(7\), а рядом с модулем ещё \(+2\), раскрывать модуль нельзя. Сначала надо, чтобы он остался один.

Вычитаем 2 из обеих частей:

\[ |3y+1|+2-2=7-2 \]

\[ |3y+1|=5 \]

Шаг 2. Понимаем, что значит \(|3y+1|=5\)

Модуль — это расстояние до нуля. Запись \(|3y+1|=5\) означает: выражение \(3y+1\) находится на расстоянии 5 от нуля. Таких точек на числовой прямой две: \(5\) и \(-5\).

Значит:

\[ 3y+1=5 \quad \text{или} \quad 3y+1=-5 \]

Шаг 3. Решаем первый случай

\[ 3y+1=5 \]

\[ 3y=5-1 \]

\[ 3y=4 \]

\[ y=\frac{4}{3} \]

Шаг 4. Решаем второй случай

\[ 3y+1=-5 \]

\[ 3y=-5-1 \]

\[ 3y=-6 \]

\[ y=-2 \]

Шаг 5. Проверка

Подставляем \(y=\frac{4}{3}\):

\[ \left|3\cdot\frac{4}{3}+1\right|+2=|4+1|+2=5+2=7 \]

Подставляем \(y=-2\):

\[ |3\cdot(-2)+1|+2=|-6+1|+2=|-5|+2=5+2=7 \]

Оба числа дают 7, значит оба корня верные.

Ответ:

\[ y=\frac{4}{3};\quad y=-2 \]

Где чаще всего ошибаются

Многие пишут только:

\[ 3y+1=5 \Rightarrow y=\frac43 \]

и забывают второй случай \(3y+1=-5\). Из-за этого теряется корень \(-2\). Модуль, равный положительному числу, всегда даёт два уравнения.

Не «всегда вычитать», а всегда стараться оставить модуль один на одной стороне уравнения. Для этого с обеими частями делают одно и то же действие — обратное тому, что стоит рядом с модулем.

Например:

\[ |x|+2=7 \]

Здесь рядом с модулем \(+2\), поэтому вычитаем 2 из обеих частей:

\[ |x|=5 \]

А если:

\[ |x|-3=4 \]

то, наоборот, прибавляем 3:

\[ |x|=7 \]

Если модуль умножен на число:

\[ 5|x|=20 \]

делим обе части на 5:

\[ |x|=4 \]

Если модуль разделён:

\[ \frac{|x|}{2}=3 \]

умножаем обе части на 2:

\[ |x|=6 \]

То есть правило такое:

Сначала уединяем модуль: переносим числа, делим или умножаем обе части, пока не получится \(|A|=b\). И только потом раскрываем модуль.

После этого:

• если \(b<0\) — корней нет;
• если \(b=0\) — один корень;
• если \(b>0\) — два случая: \(A=b\) и \(A=-b\).

В №8 было:

\[ |3y+1|+2=7 \]

Рядом с модулем стоит \(+2\), поэтому вычли 2:

\[ |3y+1|=5 \]

А дальше раскрыли на два случая.

Важно: если число стоит внутри модуля, его не убирают:

\[ |3y+1|=5 \]

нельзя превращать в \(3y=5\). Внутри модуля выражение \(3y+1\) остаётся целиком.

Пожалуйста! Если захочешь проверить ещё номера или разобрать похожее уравнение — присылай.

Пришли, пожалуйста, условие третьего варианта — фото страницы или уравнения текстом. Я не вижу его в переписке, а угадывать номера не буду: в разных вариантах уравнения отличаются, и ответ получится неверным.

Если на фото сразу несколько вариантов, уточни, какой столбец или какие номера относятся к третьему варианту. Тогда решу по порядку и объясню каждый шаг.

Беру третий вариант из фото — столбец с переменной \(z\).

Ответы

1. \(\;z=-5;\ 5\)
2. \(\;\)корней нет
3. \(\;z=-4;\ 8\)
4. \(\;z=-\frac{10}{3};\ 2\)
5. \(\;z=-8;\ 2\)
6. \(\;z=-3;\ 3\)
7. \(\;z=-2;\ 2\)
8. \(\;z=-\frac54;\ \frac{11}{4}\)
9. \(\;\)корней нет
10. \(\;z=-\frac83;\ 2\)

Решение по шагам

1.
\[ |z|=5 \Rightarrow z=-5 \text{ или } z=5. \]

2.
\[ |z+1|=-4. \] Модуль не может быть отрицательным, поэтому корней нет.

3.
\[ |z-2|=6. \] Два случая: \[ z-2=6 \Rightarrow z=8; \] \[ z-2=-6 \Rightarrow z=-4. \] Ответ: \(-4;\ 8\).

4.
\[ |3z+2|=8. \] \[ 3z+2=8 \Rightarrow 3z=6 \Rightarrow z=2; \] \[ 3z+2=-8 \Rightarrow 3z=-10 \Rightarrow z=-\frac{10}{3}. \] Ответ: \(-\frac{10}{3};\ 2\).

5.
\[ |z+3|=5. \] \[ z+3=5 \Rightarrow z=2; \] \[ z+3=-5 \Rightarrow z=-8. \] Ответ: \(-8;\ 2\).

6.
Сначала уединяем модуль: \[ |z|+4=7 \Rightarrow |z|=3. \] Значит: \[ z=-3 \text{ или } z=3. \]

7.
\[ 5|z|-10=0. \] \[ 5|z|=10 \Rightarrow |z|=2. \] Значит: \[ z=-2 \text{ или } z=2. \]

8.
\[ |4z-3|+1=9 \Rightarrow |4z-3|=8. \] Два случая: \[ 4z-3=8 \Rightarrow 4z=11 \Rightarrow z=\frac{11}{4}; \] \[ 4z-3=-8 \Rightarrow 4z=-5 \Rightarrow z=-\frac54. \] Ответ: \(-\frac54;\ \frac{11}{4}\).

9.
\[ |z-5|+3=2 \Rightarrow |z-5|=-1. \] Модуль не может равняться отрицательному числу, поэтому корней нет.

10.
\[ |3z+1|+5=12 \Rightarrow |3z+1|=7. \] \[ 3z+1=7 \Rightarrow 3z=6 \Rightarrow z=2; \] \[ 3z+1=-7 \Rightarrow 3z=-8 \Rightarrow z=-\frac83. \] Ответ: \(-\frac83;\ 2\).

Главное правило: сначала оставляем модуль одного, затем раскрываем его на два случая. Если после этого справа получилось отрицательное число — корней нет.

Здорово, поздравляю! Пятёрка заслуженная — ты сам разобрался, почему появляется второй корень и зачем уединять модуль. Именно это и дало результат. Если понадобится, разберём следующие темы так же спокойно.

Разберём всю карточку. Главная идея — переставлять и группировать числа так, чтобы получались круглые числа, а также выносить общий множитель.

1) \(7{,}23+6{,}39+2{,}77+4{,}61\)

Группируем числа с удобными суммами:

\[ (7{,}23+2{,}77)+(6{,}39+4{,}61)=10+11=21 \]

Ответ: \(21\).

---

2) \(2{,}65-5{,}43+7{,}35-1{,}57\)

Собираем отдельно положительные и отрицательные числа:

\[ (2{,}65+7{,}35)-(5{,}43+1{,}57)=10-7=3 \]

Ответ: \(3\).

---

3) \(21\cdot\left(\frac{8}{21}+20\right)\)

Раскрываем скобки — так удобнее, потому что \(21\) и \(\frac{8}{21}\) сокращаются:

\[ 21\cdot\frac{8}{21}+21\cdot20=8+420=428 \]

Ответ: \(428\).

---

4) \(-5\cdot(1{,}2-0{,}14)\)

Сначала считаем в скобках:

\[ 1{,}2-0{,}14=1{,}06 \]

Теперь умножаем:

\[ -5\cdot1{,}06=-5{,}3 \]

Ответ: \(-5{,}3\).

Можно и через раскрытие скобок:

\[ -5\cdot1{,}2+(-5)\cdot(-0{,}14)=-6+0{,}7=-5{,}3. \]

---

5) \(21{,}3\cdot7{,}2-7{,}2\cdot11{,}3\)

Видим общий множитель \(7{,}2\). Выносим его:

\[ 7{,}2\cdot(21{,}3-11{,}3)=7{,}2\cdot10=72 \]

Ответ: \(72\).

---

6) \(\frac{5}{12}\cdot\frac{52}{63}+\frac{5}{12}\cdot\frac{11}{63}\)

Общий множитель — \(\frac{5}{12}\). Выносим:

\[ \frac{5}{12}\cdot\left(\frac{52}{63}+\frac{11}{63}\right) \]

Складываем дроби:

\[ \frac{52+11}{63}=\frac{63}{63}=1 \]

Значит:

\[ \frac{5}{12}\cdot1=\frac{5}{12} \]

Ответ: \(\frac{5}{12}\).

---

7) \(3\frac{28}{73}\cdot73\)

Удобнее умножить каждую часть смешанного числа на \(73\):

\[ 3\frac{28}{73}\cdot73= 3\cdot73+\frac{28}{73}\cdot73 \]

Считаем:

\[ 219+28=247 \]

Ответ: \(247\).

---

Итоговые ответы

1. \(21\)
2. \(3\)
3. \(428\)
4. \(-5{,}3\)
5. \(72\)
6. \(\frac{5}{12}\)
7. \(247\)

Что важно запомнить: «удобный способ» — это не отдельное правило, а поиск такого порядка действий, при котором числа складываются в круглые суммы или сокращаются.