Ниже — полное пошаговое решение обоих вариантов, без сокращений.

Общий принцип для этих систем:

1. Если есть \(x^2-y^2\), раскладываем: \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

2. Если есть общий множитель, выносим его: \[ x^2-xy=x(x-y),\qquad x^2+xy=x(x+y). \]

3. Если есть линейное уравнение, выражаем из него одну переменную и подставляем во второе уравнение.

4. Решаем квадратное уравнение, затем находим вторую переменную и проверяем пару.

---

I вариант

1)

\[ \begin{cases} x^2-y^2=6,\\ x-y=2. \end{cases} \]

Раскладываем первое уравнение:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Тогда система принимает вид:

\[ \begin{cases} (x-y)(x+y)=6,\\ x-y=2. \end{cases} \]

Подставляем \(x-y=2\):

\[ 2(x+y)=6. \]

Отсюда:

\[ x+y=3. \]

Получили простую линейную систему:

\[ \begin{cases} x-y=2,\\ x+y=3. \end{cases} \]

Сложим уравнения:

\[ 2x=5, \]

\[ x=\frac52. \]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[ (x+y)-(x-y)=3-2, \]

\[ 2y=1, \]

\[ y=\frac12. \]

Ответ:

\[ \left(\frac52;\ \frac12\right). \]

Проверка:

\[ x^2-y^2=\frac{25}{4}-\frac14=\frac{24}{4}=6, \]

\[ x-y=\frac52-\frac12=2. \]

Всё верно.

---

2)

\[ \begin{cases} x^2-xy=0,\\ x-y=2. \end{cases} \]

В первом уравнении выносим \(x\):

\[ x^2-xy=x(x-y). \]

Тогда:

\[ \begin{cases} x(x-y)=0,\\ x-y=2. \end{cases} \]

Подставляем \(x-y=2\):

\[ x\cdot 2=0. \]

Значит,

\[ x=0. \]

Из уравнения \(x-y=2\) находим:

\[ 0-y=2, \]

\[ y=-2. \]

Ответ:

\[ (0;-2). \]

Проверка:

\[ x^2-xy=0^2-0\cdot(-2)=0, \]

\[ x-y=0-(-2)=2. \]

---

3)

\[ \begin{cases} x^2-3xy=-5,\\ x+2y=9. \end{cases} \]

Из второго уравнения выражаем \(x\):

\[ x=9-2y. \]

Подставляем в первое уравнение:

\[ (9-2y)^2-3(9-2y)y=-5. \]

Раскрываем скобки:

\[ 81-36y+4y^2-27y+6y^2=-5. \]

Приводим подобные:

\[ 10y^2-63y+81=-5. \]

Переносим \(-5\) влево:

\[ 10y^2-63y+86=0. \]

Решаем квадратное уравнение.

\[ D=(-63)^2-4\cdot10\cdot86=3969-3440=529. \]

\[ \sqrt D=23. \]

Тогда:

\[ y=\frac{63\pm23}{20}. \]

Получаем два значения:

\[ y_1=\frac{86}{20}=\frac{43}{10}, \]

\[ y_2=\frac{40}{20}=2. \]

Теперь находим \(x\) по формуле \(x=9-2y\).

Если \(y=\frac{43}{10}\), то:

\[ x=9-2\cdot\frac{43}{10}=9-\frac{86}{10}=\frac{90}{10}-\frac{86}{10}=\frac{4}{10}=\frac25. \]

Если \(y=2\), то:

\[ x=9-2\cdot2=5. \]

Ответ:

\[ \left(\frac25;\ \frac{43}{10}\right),\quad (5;2). \]

Проверка для \((5;2)\):

\[ x^2-3xy=25-3\cdot5\cdot2=25-30=-5, \]

\[ x+2y=5+4=9. \]

Верно.

---

4)

\[ \begin{cases} x-2y=-1,\\ 2x^2-xy=12. \end{cases} \]

Из первого уравнения выражаем \(x\):

\[ x=2y-1. \]

Подставляем во второе уравнение:

\[ 2(2y-1)^2-(2y-1)y=12. \]

Раскрываем скобки:

\[ 2(4y^2-4y+1)-(2y^2-y)=12. \]

\[ 8y^2-8y+2-2y^2+y=12. \]

\[ 6y^2-7y+2=12. \]

Переносим \(12\):

\[ 6y^2-7y-10=0. \]

Находим дискриминант:

\[ D=(-7)^2-4\cdot6\cdot(-10)=49+240=289. \]

\[ \sqrt D=17. \]

Тогда:

\[ y=\frac{7\pm17}{12}. \]

Получаем:

\[ y_1=\frac{24}{12}=2, \]

\[ y_2=\frac{-10}{12}=-\frac56. \]

Находим \(x=2y-1\).

Если \(y=2\), то:

\[ x=2\cdot2-1=3. \]

Если \(y=-\frac56\), то:

\[ x=2\cdot\left(-\frac56\right)-1=-\frac{10}{6}-1=-\frac53-1=-\frac83. \]

Ответ:

\[ (3;2),\quad \left(-\frac83;\ -\frac56\right). \]

Проверка для \((3;2)\):

\[ x-2y=3-4=-1, \]

\[ 2x^2-xy=2\cdot9-3\cdot2=18-6=12. \]

Верно.

---

II вариант

1)

\[ \begin{cases} x^2-y^2=12,\\ x-y=6. \end{cases} \]

Раскладываем первое уравнение:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y). \]

Получаем:

\[ \begin{cases} (x-y)(x+y)=12,\\ x-y=6. \end{cases} \]

Подставляем \(x-y=6\):

\[ 6(x+y)=12. \]

Отсюда:

\[ x+y=2. \]

Теперь решаем систему:

\[ \begin{cases} x-y=6,\\ x+y=2. \end{cases} \]

Сложим уравнения:

\[ 2x=8, \]

\[ x=4. \]

Вычтем:

\[ 2y=2-6=-4, \]

\[ y=-2. \]

Ответ:

\[ (4;-2). \]

Проверка:

\[ x^2-y^2=16-4=12, \]

\[ x-y=4-(-2)=6. \]

---

2)

\[ \begin{cases} x^2+xy=0,\\ x+y=4. \end{cases} \]

В первом уравнении выносим \(x\):

\[ x^2+xy=x(x+y). \]

Тогда:

\[ \begin{cases} x(x+y)=0,\\ x+y=4. \end{cases} \]

Подставляем \(x+y=4\):

\[ x\cdot4=0. \]

Значит,

\[ x=0. \]

Из второго уравнения:

\[ 0+y=4, \]

\[ y=4. \]

Ответ:

\[ (0;4). \]

Проверка:

\[ x^2+xy=0^2+0\cdot4=0, \]

\[ x+y=0+4=4. \]

---

3)

\[ \begin{cases} 2x+y=-1,\\ y^2+xy=10. \end{cases} \]

Из первого уравнения выражаем \(y\):

\[ y=-1-2x. \]

Подставляем во второе уравнение:

\[ (-1-2x)^2+x(-1-2x)=10. \]

Раскрываем скобки:

\[ 1+4x+4x^2-x-2x^2=10. \]

\[ 2x^2+3x+1=10. \]

Переносим \(10\):

\[ 2x^2+3x-9=0. \]

Находим дискриминант:

\[ D=3^2-4\cdot2\cdot(-9)=9+72=81. \]

\[ \sqrt D=9. \]

Тогда:

\[ x=\frac{-3\pm9}{4}. \]

Получаем:

\[ x_1=\frac{6}{4}=\frac32, \]

\[ x_2=\frac{-12}{4}=-3. \]

Находим \(y=-1-2x\).

Если \(x=\frac32\), то:

\[ y=-1-2\cdot\frac32=-1-3=-4. \]

Если \(x=-3\), то:

\[ y=-1-2\cdot(-3)=-1+6=5. \]

Ответ:

\[ \left(\frac32;-4\right),\quad (-3;5). \]

Проверка для \((-3;5)\):

\[ 2x+y=2\cdot(-3)+5=-6+5=-1, \]

\[ y^2+xy=25+(-3)\cdot5=25-15=10. \]

Верно.

---

4)

\[ \begin{cases} 2x^2-xy=26,\\ 2x+y=5. \end{cases} \]

Из второго уравнения выражаем \(y\):

\[ y=5-2x. \]

Подставляем в первое уравнение:

\[ 2x^2-x(5-2x)=26. \]

Раскрываем скобки:

\[ 2x^2-5x+2x^2=26. \]

\[ 4x^2-5x=26. \]

Переносим \(26\):

\[ 4x^2-5x-26=0. \]

Находим дискриминант:

\[ D=(-5)^2-4\cdot4\cdot(-26)=25+416=441. \]

\[ \sqrt D=21. \]

Тогда:

\[ x=\frac{5\pm21}{8}. \]

Получаем:

\[ x_1=\frac{26}{8}=\frac{13}{4}, \]

\[ x_2=\frac{-16}{8}=-2. \]

Находим \(y=5-2x\).

Если \(x=\frac{13}{4}\), то:

\[ y=5-2\cdot\frac{13}{4}=5-\frac{26}{4}=\frac{20}{4}-\frac{26}{4}=-\frac64=-\frac32. \]

Если \(x=-2\), то:

\[ y=5-2\cdot(-2)=5+4=9. \]

Ответ:

\[ \left(\frac{13}{4};-\frac32\right),\quad (-2;9). \]

Проверка для \((-2;9)\):

\[ 2x+y=2\cdot(-2)+9=-4+9=5, \]

\[ 2x^2-xy=2\cdot4-(-2)\cdot9=8+18=26. \]

Верно.

---

Итоговые ответы

I вариант

1. \[ \left(\frac52;\frac12\right) \]

2. \[ (0;-2) \]

3. \[ \left(\frac25;\frac{43}{10}\right),\quad (5;2) \]

4. \[ (3;2),\quad \left(-\frac83;-\frac56\right) \]

II вариант

1. \[ (4;-2) \]

2. \[ (0;4) \]

3. \[ \left(\frac32;-4\right),\quad (-3;5) \]

4. \[ \left(\frac{13}{4};-\frac32\right),\quad (-2;9) \]

Оформляй так: для каждой системы — отдельный чертёж, на нём подпиши графики и отметь точки пересечения.

---

I вариант

1)

\[ \begin{cases} y=x^2-4,\\ y=x+2. \end{cases} \]

Строим параболу \(y=x^2-4\), ветви направлены вверх, вершина — \((0;-4)\).

Таблица значений:

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(5\)	\(0\)	\(-3\)	\(-4\)	\(-3\)	\(0\)	\(5\)

Строим прямую \(y=x+2\). Удобно взять точки:

\[ (-2;0),\quad (0;2). \]

Графики пересекаются в точках:

\[ (-2;0),\qquad (3;5). \]

Ответ: \((-2;0)\), \((3;5)\).

---

2)

\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ y-2x=0. \end{cases} \]

Второе уравнение:

\[ y=2x. \]

1. Строим окружность с центром \(O(0;0)\) и радиусом \(5\). Отмечаем точки:

\[ (5;0),\ (0;5),\ (-5;0),\ (0;-5). \]

2. Строим прямую \(y=2x\). Она проходит через точки:

\[ (0;0),\quad (2;4). \]

По графику точки пересечения примерно такие:

\[ A(2{,}2;\,4{,}5),\qquad B(-2{,}2;\,-4{,}5). \]

Точно эти координаты записываются так:

\[ A(\sqrt5;\,2\sqrt5),\qquad B(-\sqrt5;\,-2\sqrt5). \]

Ответ: \((\sqrt5;2\sqrt5)\), \((-\sqrt5;-2\sqrt5)\);
по графику: примерно \((2{,}2;4{,}5)\) и \((-2{,}2;-4{,}5)\).

---

II вариант

1)

\[ \begin{cases} y=-x^2+1,\\ y-x=1. \end{cases} \]

Из второго уравнения:

\[ y=x+1. \]

Строим параболу \(y=-x^2+1\), ветви направлены вниз, вершина — \((0;1)\).

Таблица значений:

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(-3\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(-3\)

Строим прямую \(y=x+1\). Она проходит через точки:

\[ (-1;0),\quad (0;1). \]

Графики пересекаются в точках:

\[ (-1;0),\qquad (0;1). \]

Ответ: \((-1;0)\), \((0;1)\).

---

2)

\[ \begin{cases} x^2+y^2=16,\\ y+x=0. \end{cases} \]

Второе уравнение:

\[ y=-x. \]

1. Строим окружность с центром \(O(0;0)\) и радиусом \(4\). Отмечаем точки:

\[ (4;0),\ (0;4),\ (-4;0),\ (0;-4). \]

2. Строим прямую \(y=-x\). Она проходит через точки:

\[ (0;0),\quad (2;-2). \]

По графику точки пересечения примерно:

\[ A(2{,}8;\,-2{,}8),\qquad B(-2{,}8;\,2{,}8). \]

Точные координаты:

\[ A(2\sqrt2;\,-2\sqrt2),\qquad B(-2\sqrt2;\,2\sqrt2). \]

Ответ: \((2\sqrt2;-2\sqrt2)\), \((-2\sqrt2;2\sqrt2)\);
по графику: примерно \((2{,}8;-2{,}8)\) и \((-2{,}8;2{,}8)\).

---

Кратко для проверки

I вариант

1. \((-2;0)\), \((3;5)\)
2. \((\sqrt5;2\sqrt5)\), \((-\sqrt5;-2\sqrt5)\)

II вариант

1. \((-1;0)\), \((0;1)\)
2. \((2\sqrt2;-2\sqrt2)\), \((-2\sqrt2;2\sqrt2)\)

Беру 4 системы из последнего графического решения.
Обозначения:
● — точки параболы, ○ — точки окружности, / — прямая, ★ — точка пересечения, · — пустая клетка.

Масштаб: 1 клетка = 1 единица.

---

I вариант

1)

\[ \begin{cases} y=x^2-4,\\ y=x+2. \end{cases} \]

 y\ x | -3  -2  -1   0   1   2   3
------+----------------------------
  5   |  ●   ·   ·   ·   ·   ·   ★
  4   |  ·   ·   ·   ·   ·   /   ·
  3   |  ·   ·   ·   ·   /   ·   ·
  2   |  ·   ·   ·   /   ·   ·   ·
  1   |  ·   ·   /   ·   ·   ·   ·
  0   |  ·   ★   ·   ·   ·   ●   ·
 -1   |  /   ·   ·   ·   ·   ·   ·
 -2   |  ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·
 -3   |  ·   ●   ·   ·   ●   ·   ·
 -4   |  ·   ·   ·   ●   ·   ·   ·

Точки пересечения:

\[ (-2;0),\qquad (3;5). \]

---

2)

\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ y=2x. \end{cases} \]

 y\ x | -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5
------+----------------------------------
  5   |  ·  ·  ·  ·  ·  ○  ·  ·  ·  ·  ·
  4   |  ·  ·  ○  ·  ·  ·  ·  ★  ○  ·  ·
  3   |  ·  ○  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ○  ·
  2   |  ○  ·  ·  ·  ·  ·  /  ·  ·  ·  ○
  1   |  ○  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ○
  0   |  ○  ·  ·  ·  ·  /  ·  ·  ·  ·  ○
 -1   |  ○  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ○
 -2   |  ○  ·  ·  ·  /  ·  ·  ·  ·  ·  ○
 -3   |  ·  ○  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ○  ·
 -4   |  ·  ·  ○  ★  ·  ·  ·  ·  ○  ·  ·
 -5   |  ·  ·  ·  ·  ·  ○  ·  ·  ·  ·  ·

На сетке \(\star\) стоит приближённо. Точные точки:

\[ (\sqrt5;2\sqrt5),\qquad (-\sqrt5;-2\sqrt5). \]

Примерно:

\[ (2{,}2;4{,}5),\qquad (-2{,}2;-4{,}5). \]

---

II вариант

1)

\[ \begin{cases} y=-x^2+1,\\ y=x+1. \end{cases} \]

 y\ x | -2  -1   0   1   2
------+--------------------
  3   |  ·   ·   ·   ·   /
  2   |  ·   ·   ·   /   ·
  1   |  ·   ·   ★   ·   ·
  0   |  ·   ★   ·   ●   ·
 -1   |  /   ·   ·   ·   ·
 -2   |  ·   ·   ·   ·   ·
 -3   |  ●   ·   ·   ·   ●

Точки пересечения:

\[ (-1;0),\qquad (0;1). \]

---

2)

\[ \begin{cases} x^2+y^2=16,\\ y=-x. \end{cases} \]

 y\ x | -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4
------+----------------------------
  4   |  /  ·  ·  ·  ○  ·  ·  ·  ·
  3   |  ·  ★  ·  ·  ·  ·  ·  ○  ·
  2   |  ·  ○  /  ·  ·  ·  ·  ○  ·
  1   |  ○  ·  ·  /  ·  ·  ·  ·  ○
  0   |  ○  ·  ·  ·  /  ·  ·  ·  ○
 -1   |  ○  ·  ·  ·  ·  /  ·  ·  ○
 -2   |  ·  ○  ·  ·  ·  ·  /  ○  ·
 -3   |  ·  ○  ·  ·  ·  ·  ·  ★  ·
 -4   |  ·  ·  ·  ·  ○  ·  ·  ·  /

На сетке \(\star\) — приближённо. Точные точки:

\[ (2\sqrt2;-2\sqrt2),\qquad (-2\sqrt2;2\sqrt2). \]

Примерно:

\[ (2{,}8;-2{,}8),\qquad (-2{,}8;2{,}8). \]

---

В тетради:

• ● соедини плавной линией — получится парабола;
• ○ обведи циркулем — окружность;
• / продолжи по линейке — прямая;
• ★ подпиши как точки пересечения.