Реши задание на изображении

Условие №9 не видно — в предыдущем сообщении были только №7 и №8. Пришлите фото или текст №9, и я решу его через дискриминант.

Решим №8 через дискриминант:

\[ x^2-14x+49\ge 0 \]

Здесь \(a=1,\ b=-14,\ c=49\).

\[ D=b^2-4ac=(-14)^2-4\cdot1\cdot49=196-196=0 \]

Так как \(D=0\), корень один:

\[ x=\frac{-b}{2a}=\frac{14}{2}=7 \]

Парабола \(y=x^2-14x+49\) направлена ветвями вверх и только касается оси \(Ox\) в точке \(x=7\). Поэтому она нигде не бывает ниже оси, то есть выражение всегда \(\ge 0\).

Ответ: \[ x\in(-\infty;+\infty),\quad \text{или } x\in\mathbb R. \]

Точка \(x=7\) тоже входит в ответ, потому что неравенство нестрогое: при \(x=7\) выражение равно \(0\), а \(0\ge0\) — верно.

Решим №7 через дискриминант:

\[ 4x^2-12x+9>0 \]

Здесь \(a=4,\ b=-12,\ c=9\).

\[ D=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot4\cdot9=144-144=0 \]

Так как \(D=0\), корень один:

\[ x=\frac{-b}{2a}=\frac{12}{8}=\frac32 \]

Парабола \(y=4x^2-12x+9\) направлена ветвями вверх и только касается оси \(Ox\) в точке \(x=\frac32\). Значит, выражение всегда \(\ge 0\), а равно нулю только при \(x=\frac32\).

У нас неравенство строгое: \(>0\). Поэтому точку \(\frac32\) нужно исключить.

Ответ:

\[ x\in\left(-\infty;\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right) \]

или короче:

\[ x\ne\frac32. \]

Проверка: при \(x=\frac32\):

\[ 4\cdot\frac94-12\cdot\frac32+9=9-18+9=0, \]

а должно быть строго больше нуля, поэтому эта точка не подходит.

№9. \(5x^2-2x+1>0\)

Решаем через дискриминант:

\[ a=5,\quad b=-2,\quad c=1 \]

\[ D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot5\cdot1=4-20=-16 \]

\[ D<0 \]

Значит, парабола \(y=5x^2-2x+1\) не пересекает ось \(Ox\). Так как коэффициент при \(x^2\) положителен (\(5>0\)), ветви параболы направлены вверх, и вся она лежит выше оси \(Ox\). Поэтому выражение положительно при любом \(x\).

Ответ:

\[ x\in(-\infty;+\infty) \]

или

\[ x\in\mathbb R. \]

Проверка через выделение квадрата:

\[ 5x^2-2x+1=5\left(x-\frac15\right)^2+\frac45>0 \]

Квадрат всегда неотрицателен, а \(\frac45>0\), значит, сумма всегда положительна.

Условие №10 не видно — в истории есть только №7, №8 и №9. Пришлите фото или текст №10, и я решу его через дискриминант.

№10. \(9x^2+30x+25<0\)

Решаем через дискриминант:

\[ a=9,\quad b=30,\quad c=25 \]

\[ D=b^2-4ac=30^2-4\cdot9\cdot25=900-900=0 \]

\[ D=0 \]

Значит, корень один:

\[ x=\frac{-b}{2a}=\frac{-30}{18}=-\frac53 \]

Парабола \(y=9x^2+30x+25\) направлена ветвями вверх и только касается оси \(Ox\) в точке \(x=-\frac53\). Поэтому выражение всегда не меньше нуля:

\[ 9x^2+30x+25\ge 0 \]

А нам нужно строго меньше нуля:

\[ 9x^2+30x+25<0 \]

Таких значений нет.

Ответ:

\[ x\in\varnothing \]

То есть решений нет.

Проверка через квадрат:

\[ 9x^2+30x+25=(3x+5)^2\ge 0 \]

Квадрат не может быть отрицательным, поэтому неравенство \(<0\) не выполняется ни при каком \(x\).

№2

3)
\[ -5x^2\ge -10x \]

Перенесём всё влево: \[ -5x^2+10x\ge0 \]

Умножим на \(-1\), при этом знак неравенства меняется: \[ 5x^2-10x\le0 \]

\[ 5x(x-2)\le0 \]

Корни: \(x=0\) и \(x=2\). Ветви параболы направлены вверх, значит выражение неположительно между корнями: \[ x\in[0;2] \]

Ответ: \([0;2]\).

4)
\[ -3x^2<-75 \]

Умножим на \(-1\), знак меняется: \[ 3x^2>75 \]

\[ x^2>25 \]

\[ x<-5 \quad \text{или}\quad x>5 \]

Ответ: \[ x\in(-\infty;-5)\cup(5;+\infty). \]

Кратко:
\[ \boxed{[0;2]};\qquad \boxed{(-\infty;-5)\cup(5;+\infty)} \]