Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Как решать и почему так получается

Уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где
\(a=1,\; b=-5,\; c=6\).

Способ 1. Через дискриминант

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm\sqrt1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. Через разложение на множители

Ищем два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении \(6\). Это \(2\) и \(3\). Поэтому:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Уравнение:

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]

Проверка

Для \(x=2\):

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]

Для \(x=3\):

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: квадратное уравнение можно решить через дискриминант, а если коэффициенты удобные — разложить на множители по теореме Виета.