Реши примеры подробно
Краткий ответ:
- \(\dfrac{1}{m^2n^2}\)
- \(y\)
При условии, что \(m,n,x,y>0\) — тогда все степени с корнями в показателях определены.
Главное правило: одинаковые основания можно объединять, а показатели при умножении складывать, при делении — вычитать: \[ a^p\cdot a^q=a^{p+q},\qquad \frac{a^p}{a^q}=a^{p-q},\qquad (ab)^p=a^pb^p. \]
1)
\[ \frac{m^{\sqrt3}\cdot n^{\sqrt3}}{(mn)^{2+\sqrt3}} \]
Сначала числитель: \[ m^{\sqrt3}n^{\sqrt3}=(mn)^{\sqrt3}. \]
Теперь делим: \[ \frac{(mn)^{\sqrt3}}{(mn)^{2+\sqrt3}} =(mn)^{\sqrt3-(2+\sqrt3)} =(mn)^{-2}. \]
Так как \((mn)^{-2}=\dfrac{1}{(mn)^2}\): \[ \boxed{\frac{1}{m^2n^2}} \]
Проверка:
\[
\frac{1}{m^2n^2}\cdot (mn)^{2+\sqrt3}
=(mn)^{-2}(mn)^{2+\sqrt3}
=(mn)^{\sqrt3}.
\]
Это и есть исходный числитель.
2)
\[ \frac{x^{\sqrt7}\cdot y^{\sqrt7+1}}{(xy)^{\sqrt7}} \]
Раскроем знаменатель: \[ (xy)^{\sqrt7}=x^{\sqrt7}y^{\sqrt7}. \]
Тогда: \[ \frac{x^{\sqrt7}\cdot y^{\sqrt7+1}}{x^{\sqrt7}y^{\sqrt7}} = \frac{x^{\sqrt7}y^{\sqrt7}\cdot y}{x^{\sqrt7}y^{\sqrt7}} =y. \]
\[ \boxed{y} \]
Проверка:
\[
y\cdot (xy)^{\sqrt7}
=y\cdot x^{\sqrt7}y^{\sqrt7}
=x^{\sqrt7}y^{\sqrt7+1},
\]
то есть получился исходный числитель.
Вывод: в таких примерах нужно привести степени к одинаковым основаниям, а затем просто работать с показателями.
Обсуждение
2 сообщенияРеши подробно
\[ \frac{a^{\frac12}\cdot a^{-0{,}5}}{a^{\frac13}} \]
Так как \[ 0{,}5=\frac12, \] то в числителе показатели складываются:
\[ a^{\frac12}\cdot a^{-\frac12} =a^{\frac12-\frac12} =a^0=1. \]
Значит,
\[ \frac{a^{\frac12}\cdot a^{-0{,}5}}{a^{\frac13}} = \frac{1}{a^{\frac13}} = a^{-\frac13} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}}. \]
Можно было сразу вычесть показатели:
\[ a^{\frac12-0{,}5-\frac13} = a^{\frac12-\frac12-\frac13} = a^{-\frac13}. \]
Ответ: \[ \boxed{a^{-\frac13}=\frac{1}{\sqrt[3]{a}}} \] при \(a>0\).
Правило: \[ \frac{a^m\cdot a^n}{a^k}=a^{m+n-k}. \]
То есть при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются.
