реши графиком

На полоске «6 вариант» три системы. Ответы:

\[ 6.1:\ x\in(-1;3],\qquad 6.2:\ y\in[1{,}5;4),\qquad 6.3:\ \varnothing. \]

Как решать такие системы «графиком»

«Графиком» для неравенства с одной переменной называют числовую прямую. Каждое неравенство решаем отдельно, отмечаем его решение на прямой, а потом берём общую часть — пересечение.

• строгое неравенство \(x<3\): точка выколотая, \(3\) не входит;
• нестрогое \(x\le 3\): точка закрашенная, \(3\) входит.

6.1

\[ \begin{cases} x\le 3,\\ x>-1. \end{cases} \]

• \(x\le 3\): закрашиваем точки левее \(3\), точка \(3\) включена;
• \(x>-1\): закрашиваем точки правее \(-1\), точка \(-1\) выколота.

Общая часть:

\[ \boxed{x\in(-1;3]}. \]

Проверка: например, \(x=0\): \(0\le3\) и \(0>-1\) — верно.

6.2

\[ \begin{cases} 2y-8<0,\\ 2y-3\ge0. \end{cases} \]

Решаем каждое:

\[ 2y-8<0 \Rightarrow 2y<8 \Rightarrow y<4; \]

\[ 2y-3\ge0 \Rightarrow 2y\ge3 \Rightarrow y\ge\frac32=1{,}5. \]

На числовой прямой: \(y\) больше либо равен \(1{,}5\), но меньше \(4\). Значит,

\[ \boxed{y\in[1{,}5;4)}. \]

Проверка: \(y=2\): \(4-8<0\) — верно, \(4-3=1\ge0\) — верно. А \(y=4\) уже не подходит, потому что первое неравенство станет \(0<0\) — неверно.

6.3

\[ \begin{cases} 2-4x<2x-10,\\ 3\ge2x+6. \end{cases} \]

Первое неравенство:

\[ 2-4x<2x-10 \] \[ 12<6x \] \[ x>2. \]

Второе:

\[ 3\ge2x+6 \] \[ -3\ge2x \] \[ x\le-1{,}5. \]

Получаем:

\[ x>2 \quad \text{и одновременно} \quad x\le-1{,}5. \]

Таких чисел нет: одно условие требует числа правее \(2\), а другое — левее \(-1{,}5\). Общей части на числовой прямой нет.

\[ \boxed{\text{Решений нет, }x\in\varnothing.} \]

Главное правило: реши каждое неравенство отдельно, отметь на числовой прямой и найди общую часть. Если общей части нет — система не имеет решений.