сделай 101 102 103 104 подробно

Кратко:
101. а) \(\triangle AOB=\triangle DOC\) по первому признаку; б) \(\angle ACD=70^\circ\).
102. \(\triangle ABC=\triangle CDA\) — доказывается через равенство трёх пар сторон.
103. \(\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1\) — по первому признаку.
104. \(\angle CBD=\angle DEC\) — из равенства \(\triangle CBD\) и \(\triangle DEC\) по третьему признаку.

101

а) Доказательство равенства треугольников.

На рисунке 60 точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, а \(B,O,D\) — на другой.
Дано: \[ OA=OD,\qquad OB=OC. \] Углы \(\angle AOB\) и \(\angle DOC\) вертикальные, поэтому \[ \angle AOB=\angle DOC. \] Значит, треугольники \(AOB\) и \(DOC\) равны по двум сторонам и углу между ними — первый признак: \[ \triangle AOB=\triangle DOC. \]

б) Находим \(\angle ACD\).

Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: \[ \angle OAB=\angle ODC,\qquad \angle OBA=\angle OCD. \] По рисунку \(\angle 1=\angle AOB=74^\circ\), а \(\angle 2=36^\circ\) — угол при основании. Тогда в треугольнике \(DOC\): \[ \angle DOC=74^\circ,\qquad \angle ODC=36^\circ. \] Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \[ \angle OCD=180^\circ-74^\circ-36^\circ=70^\circ. \] Так как \(A,O,C\) лежат на одной прямой, угол \(ACD\) — это тот же угол, что и \(OCD\). Значит, \[ \boxed{\angle ACD=70^\circ}. \]

102

Пусть \(O\) — точка пересечения отрезков \(AC\) и \(BD\). По условию точкой пересечения они делятся пополам: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

1. Рассмотрим \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). У них: \[ AO=OC,\quad BO=OD,\quad \angle AOB=\angle COD \] как вертикальные углы. Значит, \[ \triangle AOB=\triangle COD \] по первому признаку. Отсюда \[ AB=CD. \]

2. Аналогично \(\triangle BOC=\triangle DOA\): \[ BO=OD,\quad OC=OA,\quad \angle BOC=\angle DOA. \] Поэтому \[ BC=AD. \]

3. Теперь рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\): \[ AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad AC\text{ — общая сторона.} \] По третьему признаку равенства треугольников: \[ \boxed{\triangle ABC=\triangle CDA}. \]

103

Дано:
\[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1, \] точки \(P\) и \(P_1\) лежат на \(AB\) и \(A_1B_1\), причём \[ AP=A_1P_1. \]

Доказательство.

1. Сначала рассмотрим большие треугольники: \[ \triangle ABC \text{ и } \triangle A_1B_1C_1. \] У них: \[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1. \] По первому признаку: \[ \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1. \] Следовательно, \[ BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]

2. Найдём \(BP\) и \(B_1P_1\): \[ BP=AB-AP,\qquad B_1P_1=A_1B_1-A_1P_1. \] Так как \(AB=A_1B_1\) и \(AP=A_1P_1\), получаем: \[ BP=B_1P_1. \]

3. Рассмотрим \(\triangle BPC\) и \(\triangle B_1P_1C_1\): \[ BP=B_1P_1,\qquad BC=B_1C_1, \] а углы между этими сторонами: \[ \angle PBC=\angle ABC=\angle A_1B_1C_1=\angle P_1B_1C_1. \] По первому признаку: \[ \boxed{\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1}. \]

104

Дано:
Точка \(B\) лежит на отрезке \(AC\), точка \(E\) — на отрезке \(AD\), причём \[ AC=AD,\qquad AB=AE. \] Нужно доказать: \[ \angle CBD=\angle DEC. \]

Доказательство.

1. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle AEC\). У них: \[ AB=AE,\qquad AD=AC, \] а угол \(A\) общий: \[ \angle BAD=\angle EAC. \] По первому признаку: \[ \triangle ABD=\triangle AEC. \] Следовательно, \[ BD=EC. \]

2. Так как \(B\) лежит на \(AC\), а \(E\) — на \(AD\): \[ BC=AC-AB,\qquad DE=AD-AE. \] Но \(AC=AD\) и \(AB=AE\), поэтому \[ BC=DE. \]

3. Рассмотрим \(\triangle CBD\) и \(\triangle DEC\): \[ CB=DE,\qquad BD=EC,\qquad CD\text{ — общая сторона.} \] По третьему признаку: \[ \triangle CBD=\triangle DEC. \] В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому \[ \boxed{\angle CBD=\angle DEC}. \]

Что важно понять: сначала ищем в треугольниках уже известные равные элементы — общую сторону, вертикальные углы, равные разности отрезков. Затем выбираем признак: две стороны и угол между ними, сторона и два прилежащих угла или три стороны.