Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(90^\circ,\ 90^\circ,\ 20^\circ,\ 160^\circ\).
- В треугольнике \(KMO\): \(\angle MKO=40^\circ,\ \angle KMO=50^\circ,\ \angle KOM=90^\circ\).
- а) доказано; б) периметр \(=40\) см.
- Сторона квадрата \(=5{,}5\) мм.
1. Углы прямоугольной трапеции
У прямоугольной трапеции два угла прямые, то есть по \(90^\circ\). Оставшиеся два угла в сумме дают \(180^\circ\):
\[ 180^\circ-20^\circ=160^\circ. \]
Ответ: \(90^\circ,\ 90^\circ,\ 20^\circ,\ 160^\circ\).
Проверка:
\[ 90^\circ+90^\circ+20^\circ+160^\circ=360^\circ. \]
2. Углы треугольника \(KMO\)
В ромбе:
- противоположные углы равны;
- диагонали перпендикулярны и делят углы ромба пополам.
Дано:
\[ \angle MNP=80^\circ. \]
Тогда противоположный угол при вершине \(K\) тоже равен \(80^\circ\). Диагональ \(KN\) делит его пополам, поэтому
\[ \angle MKO=80^\circ:2=40^\circ. \]
Соседний угол при вершине \(M\):
\[ 180^\circ-80^\circ=100^\circ. \]
Диагональ \(MP\) делит его пополам:
\[ \angle KMO=100^\circ:2=50^\circ. \]
Диагонали ромба перпендикулярны, значит
\[ \angle KOM=90^\circ. \]
Ответ: \(40^\circ,\ 50^\circ,\ 90^\circ\).
Проверка:
\[ 40^\circ+50^\circ+90^\circ=180^\circ. \]
3. Параллелограмм \(ABCD\)
а) Доказательство
Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то
\[ AD\parallel BC. \]
Точка \(M\) лежит на \(BC\), поэтому
\[ AD\parallel BM. \]
По условию
\[ AB=BM, \]
значит треугольник \(ABM\) равнобедренный с основанием \(AM\). Следовательно,
\[ \angle BAM=\angle AMB. \]
Углы \(\angle DAM\) и \(\angle AMB\) — накрест лежащие при параллельных \(AD\) и \(BM\) и секущей \(AM\), поэтому
\[ \angle DAM=\angle AMB. \]
Значит,
\[ \angle BAM=\angle DAM. \]
То есть луч \(AM\) делит угол \(BAD\) на две равные части. Поэтому \(AM\) — биссектриса угла \(BAD\).
б) Периметр
Противоположные стороны параллелограмма равны:
\[ AB=CD=8\text{ см}. \]
По условию
\[ BM=AB=8\text{ см}. \]
Тогда
\[ BC=BM+MC=8+4=12\text{ см}. \]
Периметр:
\[ P=2(AB+BC)=2(8+12)=2\cdot20=40\text{ см}. \]
Ответ: \(40\) см.
4. Сторона квадрата
У квадрата все четыре стороны равны. Если периметр равен \(22\) мм, то
\[ a=\frac{P}{4}=\frac{22}{4}=5{,}5\text{ мм}. \]
Ответ: \(5{,}5\) мм.
Проверка:
\[ 4\cdot5{,}5=22\text{ мм}. \]
