сделай 101 - 104

Кратко:
101 — \(\angle ACD=74^\circ\);
102–104 — доказательства равенства треугольников (ниже).

101

а) В треугольниках \(AOB\) и \(DOC\):

• \(OA=OD\) — по условию;
• \(OB=OC\) — по условию;
• \(\angle AOB=\angle DOC\) — вертикальные углы.

Значит, \(\triangle AOB=\triangle DOC\) по двум сторонам и углу между ними.

б) Из равенства треугольников следует: \[ \angle OCD=\angle OBA=\angle 1=74^\circ. \] Точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, поэтому \(\angle ACD=\angle OCD\).

Ответ: \(\angle ACD=74^\circ\).

Проверка через \(\angle 2\):
\[ \angle AOB=180^\circ-74^\circ-36^\circ=70^\circ, \] тогда в \(\triangle DOC\): \[ \angle OCD=180^\circ-70^\circ-36^\circ=74^\circ. \]

102

Пусть \(O\) — точка пересечения \(AC\) и \(BD\). По условию: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

1. \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам и вертикальному углу при \(O\).
   Отсюда \(AB=CD\).

2. \(\triangle BOC=\triangle DOA\) аналогично.
   Отсюда \(BC=AD\).

3. В треугольниках \(ABC\) и \(CDA\):

   • \(AB=CD\);
   • \(BC=AD\);
   • \(AC\) — общая сторона.

Значит, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по трём сторонам.

103

1. \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними: \[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1. \] Поэтому \[ BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]

2. Так как \(P\) лежит на \(AB\), а \(P_1\) — на \(A_1B_1\): \[ BP=AB-AP,\qquad B_1P_1=A_1B_1-A_1P_1. \] Но \(AB=A_1B_1\) и \(AP=A_1P_1\), значит: \[ BP=B_1P_1. \]

3. Углы \(\angle PBC\) и \(\angle P_1B_1C_1\) — это те же \(\angle ABC\) и \(\angle A_1B_1C_1\), поэтому они равны.

В итоге в \(\triangle BPC\) и \(\triangle B_1P_1C_1\): \[ BP=B_1P_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle PBC=\angle P_1B_1C_1. \] Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

104

1. \(\triangle ABC=\triangle AED\) по двум сторонам и общему углу \(A\): \[ AB=AE,\quad AC=AD,\quad \angle A\text{ — общий}. \] Следовательно, \[ BC=ED. \]

2. \(\triangle ABD=\triangle AEC\) тоже по двум сторонам и общему углу \(A\): \[ AB=AE,\quad AD=AC,\quad \angle A\text{ — общий}. \] Отсюда \[ BD=EC. \]

3. Рассмотрим \(\triangle CBD\) и \(\triangle DEC\):

   • \(CB=ED\);
   • \(BD=EC\);
   • \(CD\) — общая сторона.

Значит, \(\triangle CBD=\triangle DEC\) по трём сторонам.
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому \[ \angle CBD=\angle DEC. \]

Принцип: ищи пару треугольников, у которых уже известны две стороны и угол между ними; тогда можно получить равенство третьих сторон и нужных углов.