Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это отдельная самостоятельная работа по теме «Сложение векторов»; ранее в диалоге условия задачи не было. Решение варианта 2:

1. Векторы \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{CB}\) и вид \(OABC\)

По правилу треугольника:

1. От точки \(O\) откладываем вектор \(\vec a\), затем из его конца — вектор \(\vec b\). Конец второго вектора — точка \(A\), поэтому
   \[ \overrightarrow{OA}=\vec a+\vec b. \]
2. От точки \(C\) точно так же откладываем сначала \(\vec a\), затем \(\vec b\). Получаем точку \(B\), поэтому
   \[ \overrightarrow{CB}=\vec a+\vec b. \]

Значит, \[ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}. \]

Следовательно, в четырёхугольнике \(OABC\) противоположные стороны \(OA\) и \(BC\) равны и параллельны. Поэтому \(OABC\) — параллелограмм.

Доказательство через середины диагоналей: \[ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow A-O=B-C \Rightarrow A+C=O+B. \] То есть середины диагоналей \(AC\) и \(OB\) совпадают, а это признак параллелограмма.

2. Построение \(OP=x+y\), \(CT=y+x\) и равенство \(OC=PT\)

По правилу параллелограмма:

• от точки \(O\) откладываем \(\vec x\) и \(\vec y\) из общего начала, достраиваем параллелограмм; его диагональ
  \[ \overrightarrow{OP}=\vec x+\vec y; \]
• от точки \(C\) откладываем \(\vec y\) и \(\vec x\), достраиваем параллелограмм; его диагональ
  \[ \overrightarrow{CT}=\vec y+\vec x. \]

Так как сложение векторов переместительно, \[ \vec x+\vec y=\vec y+\vec x, \] поэтому \[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{CT}. \]

Теперь: \[ \overrightarrow{PT} = T-P = (C+\overrightarrow{CT})-(O+\overrightarrow{OP}) = C-O = \overrightarrow{OC}. \] Значит, векторы \(PT\) и \(OC\) равны, следовательно, равны и их длины: \[ \boxed{OC=PT}. \]

3. Построение и доказательство \(m=n\)

а)

• \(\overrightarrow{OT}=\vec x+\vec y\): от \(O\) откладываем \(\vec x\), затем из его конца — \(\vec y\); получаем \(T\).
• \(\overrightarrow{PM}=\vec y+\vec z\): от \(P\) откладываем \(\vec y\), затем из его конца — \(\vec z\); получаем \(M\).

б)

От точки \(H\):

• для \(\vec m=\overrightarrow{OT}+\vec z\): откладываем \(\overrightarrow{OT}=\vec x+\vec y\), затем \(\vec z\);
• для \(\vec n=\vec x+\overrightarrow{PM}\): откладываем \(\vec x\), затем \(\overrightarrow{PM}=\vec y+\vec z\).

Фактически оба раза от \(H\) последовательно откладываются векторы \(\vec x\), \(\vec y\), \(\vec z\).

в)

\[ \vec m=\overrightarrow{OT}+\vec z =(\vec x+\vec y)+\vec z, \] \[ \vec n=\vec x+\overrightarrow{PM} =\vec x+(\vec y+\vec z). \]

По сочетательному закону сложения векторов \[ (\vec x+\vec y)+\vec z=\vec x+(\vec y+\vec z). \] Поэтому \[ \boxed{\vec m=\vec n}. \]

Оба вектора равны одному и тому же вектору \(\vec x+\vec y+\vec z\), поэтому, будучи отложенными от одной точки \(H\), они совпадают.

Вот все 4 чертежа к решению. Масштаб условный; координаты подписаны, поэтому по ним легко перенести на клетчатую бумагу.

1. Параллелограмм \(OABC\) и \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}=\vec a+\vec b\)

Возьмём: \[ O(0;0),\quad A(4;1),\quad B(5;4),\quad C(1;3), \] \[ \vec a=(3;0),\quad \vec b=(1;1). \]

          B(5;4)
         /      \
        /        \
  C(1;3)          A(4;1)
        \        /
         \      /
          O(0;0)

Построение векторов-слагаемых:

OA:  O ──a──▶ D(3;0) ──b──▶ A(4;1)
CB:  C ──a──▶ E(4;3) ──b──▶ B(5;4)

Точки \(D\) и \(E\) — вспомогательные: концы первого вектора \(\vec a\).
Получается: \[ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}=\vec a+\vec b, \] поэтому \(OABC\) — параллелограмм.

2. \(\overrightarrow{OP}=\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{CT}=\vec y+\vec x\), \(OC=PT\)

Возьмём: \[ \vec x=(3;0),\quad \vec y=(1;2). \] Тогда \[ \vec x+\vec y=(4;2). \]

Пусть \[ O(0;0),\quad C(0;-4). \] Тогда \[ P=(4;2),\quad T=(4;-2). \]

Схема:

O(0;0) ●────────▶ P(4;2)
        ╲          ╲
         ╲          ╲
C(0;-4) ●────────▶ T(4;-2)

Построение по векторам:

O ──x──▶ X(3;0) ──y──▶ P(4;2)
C ──y──▶ Y(1;-2) ──x──▶ T(4;-2)

При этом отрезки \(OC\) и \(PT\) вертикальны и имеют одинаковую длину \(4\): \[ \boxed{OC=PT}. \]

3а. \(\overrightarrow{OT}=\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PM}=\vec y+\vec z\)

Возьмём: \[ \vec x=(3;0),\quad \vec y=(1;2),\quad \vec z=(2;3). \] Тогда \[ \vec x+\vec y=(4;2),\qquad \vec y+\vec z=(3;5). \]

Пусть \[ O(0;0),\quad P(6;0). \] Тогда \[ T(4;2),\quad M(9;5). \]

Построение:

O ──x──▶ X(3;0) ──y──▶ T(4;2)

P ──y──▶ Y(7;2) ──z──▶ M(9;5)

То есть: \[ \overrightarrow{OT}=\vec x+\vec y, \] \[ \overrightarrow{PM}=\vec y+\vec z. \]

3б. \(\vec m=\overrightarrow{OT}+\vec z\), \(\vec n=\vec x+\overrightarrow{PM}\), \(\vec m=\vec n\)

От одной точки \(H\):

\[ \vec m=\overrightarrow{OT}+\vec z, \] \[ \vec n=\vec x+\overrightarrow{PM}. \]

Так как \[ \overrightarrow{OT}=\vec x+\vec y,\qquad \overrightarrow{PM}=\vec y+\vec z, \] получаем две ломаные:

H ──OT──▶ U(4;2) ──z──▶ E(6;5)

H ──x───▶ X(3;0) ──PM─▶ E(6;5)

Схематически:

              E(6;5)
             / \
        z   /   \   PM
           /     \
   U(4;2) /       \
         /         \
        H─────x─────X(3;0)
            OT

Обе ломаные начинаются в \(H\) и заканчиваются в одной и той же точке \(E\). Поэтому: \[ \vec m=\vec n=\overrightarrow{HE}. \]

Итак: \[ \boxed{\vec m=\vec n}. \]

Приложить готовый файл-картинку я не могу, но даю точные координаты — если отмечать точки по клеткам, чертёж получится ровно таким. Масштаб: 1 клетка = 1 единица.

Чертёж 1. Параллелограмм \(OABC\) и \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}\)

Точки: \(O(0;0)\), \(A(4;1)\), \(B(5;4)\), \(C(1;3)\). Вспомогательные: \(D(3;0)\), \(E(4;3)\).

Порядок:

1. Отметь \(O, A, B, C\) по координатам.
2. Соедини \(O\!-\!A\!-\!B\!-\!C\!-\!O\) — получился параллелограмм.
3. Проведи \(O\to D\to A\) (это \(\vec a\), потом \(\vec b\)) и \(C\to E\to B\).
4. Поставь стрелки на \(OA\) и \(CB\) — они равны и сонаправлены.

y 4  ·   ·   ·   ·   ·   B
  3  ·   C   ·   ·   E   ·
  2  ·   ·   ·   ·   ·   ·
  1  ·   ·   ·   ·   A   ·
  0  O   ·   ·   D   ·   ·
     0   1   2   3   4   5  x

Проверка: \(\overrightarrow{OA}=(4;1)\), \(\overrightarrow{CB}=(5-1;4-3)=(4;1)\) — равны ✔

Чертёж 2. \(\overrightarrow{OP}=\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{CT}=\vec y+\vec x\)

\(\vec x=(3;0)\), \(\vec y=(1;2)\). Точки: \(O(0;0)\), \(P(4;2)\), \(T(4;-2)\), \(C(0;-4)\). Вспомогательные: \(X(3;0)\), \(Y(1;-2)\).

Порядок:

1. Отметь \(O, P, T, C\).
2. Проведи \(O\to X\to P\) (сначала \(\vec x\), потом \(\vec y\)).
3. Проведи \(C\to Y\to T\) (сначала \(\vec y\), потом \(\vec x\)).
4. Соедини \(O\!-\!C\) и \(P\!-\!T\) — они вертикальны и равны: \(OC=PT=4\).

y  2  ·   ·   ·   P
   1  ·   ·   ·   ·
   0  O   ·   X   ·
  -1  ·   ·   ·   ·
  -2  ·   Y   ·   T
  -3  ·   ·   ·   ·
  -4  C   ·   ·   ·
      0   1   2   3   4  x

Проверка: \(\overrightarrow{PT}=T-P=(0;-4)\), \(\overrightarrow{OC}=C-O=(0;-4)\) ✔

Чертёж 3а. \(\overrightarrow{OT}=\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PM}=\vec y+\vec z\)

\(\vec x=(3;0)\), \(\vec y=(1;2)\), \(\vec z=(2;3)\). Точки: \(O(0;0)\), \(T(4;2)\); \(P(6;0)\), \(M(9;5)\). Вспомогательные: \(X(3;0)\), \(Y(7;2)\).

y 5  ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   M
  4  ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·
  3  ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·
  2  ·   ·   ·   T   ·   ·   Y   ·   ·   ·
  1  ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·
  0  O   ·   ·   X   ·   ·   P   ·   ·   ·
     0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  x

Ход построения: \(O\to X\) (\(\vec x\)), \(X\to T\) (\(\vec y\)) — вектор \(OT\); затем \(P\to Y\) (\(\vec y\)), \(Y\to M\) (\(\vec z\)) — вектор \(PM\).

Чертёж 3б. \(\vec m=\overrightarrow{OT}+\vec z\), \(\vec n=\vec x+\overrightarrow{PM}\)

Обе ломаные начинаются в одной точке \(H\) и приходят в одну точку \(E\).

Точки: \(H(0;0)\), \(U(4;2)\), \(X(3;0)\), \(E(6;5)\).

Порядок:

1. \(H\to U\) — это \(\overrightarrow{OT}=\vec x+\vec y\); затем \(U\to E\) — вектор \(\vec z\) (получили \(\vec m\)).
2. \(H\to X\) — вектор \(\vec x\); затем из \(X\) откладываем \(\overrightarrow{PM}=\vec y+\vec z\) — приходим снова в \(E\) (получили \(\vec n\)).
3. Отрезок \(H\to E\) — их общий результат: \(\vec m=\vec n=\overrightarrow{HE}=(6;5)\).

y 5  ·   ·   ·   ·   ·   ·   E
  4  ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·
  3  ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·
  2  ·   ·   ·   ·   U   ·   ·
  1  ·   ·   ·   ·   ·   ·   ·
  0  H   ·   ·   X   ·   ·   ·
     0   1   2   3   4   5   6  x

Если нужно, могу вместо координатных схем прислать код чертежей в SVG — его можно вставить в файл и распечатать готовые рисунки.