Реши задание на изображении
Краткий ответ:
\[
MK=4+4\sqrt{22}\approx 22{,}76
\]
Как решать
По записи \(\angle M=60^\circ\), \(MN=8\), \(NK=20\). На рисунке проведена высота \(NH\perp MK\).
В прямоугольном треугольнике \(MNH\): \[ MH=MN\cos60^\circ=8\cdot\frac12=4 \] \[ NH=MN\sin60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3 \] То же самое можно получить через угол \(30^\circ\): \(MH\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \(MH=4\).
В прямоугольном треугольнике \(KNH\) по теореме Пифагора: \[ KH=\sqrt{NK^2-NH^2} \] \[ KH=\sqrt{20^2-(4\sqrt3)^2} =\sqrt{400-48} =\sqrt{352}=4\sqrt{22} \]
Поэтому \[ MK=MH+KH=4+4\sqrt{22} \]
Проверка через теорему косинусов:
Пусть \(MK=x\). Тогда
\[
20^2=8^2+x^2-2\cdot8\cdot x\cdot\cos60^\circ
\]
\[
400=64+x^2-8x
\]
\[
x^2-8x-336=0
\]
\[
x=4+4\sqrt{22}
\]
Второй корень отрицательный, он не подходит для длины. Ответ совпал.
Главная идея: высота разбивает «непрямоугольный» треугольник на два прямоугольных, и неизвестную сторону можно найти по частям.
