1216

Кратко:

а) \(27x^3y^9\)

б) \(\dfrac{20a}{b^2}\)

в) \(\dfrac{4b^{12}}{a^{10}}\)

г) \(\dfrac{y^6}{2x}\)

Как это получается

Используем правила степеней:

\[ a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n}, \] \[ (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n. \]

а)

\[ \left(\frac{2x^{-1}}{3y^2}\right)^{-2} = \left(\frac{3y^2}{2x^{-1}}\right)^2 = \left(\frac{3xy^2}{2}\right)^2 = \frac94 x^2y^4. \]

Умножаем:

\[ \frac94 x^2y^4\cdot 12xy^5 =27x^3y^9. \]

б)

\[ \left(\frac{ab}{5}\right)^{-1}=\frac5{ab}. \]

Тогда:

\[ 4a^2b^{-1}\cdot \frac5{ab} = 20a^{2-1}b^{-1-1} = 20ab^{-2} = \frac{20a}{b^2}. \]

в)

\[ (2a^{-2}b^3)^2=4a^{-4}b^6. \]

\[ \left(\frac ab\right)^{-6} = \left(\frac ba\right)^6 = \frac{b^6}{a^6} = a^{-6}b^6. \]

Перемножаем:

\[ 4a^{-4}b^6\cdot a^{-6}b^6 = 4a^{-10}b^{12} = \frac{4b^{12}}{a^{10}}. \]

г)

\[ \left(\frac{2x^{-2}}{y^3}\right)^{-1} = \frac{y^3}{2x^{-2}} = \frac{x^2y^3}{2}. \]

\[ (x^{-1}y)^3=x^{-3}y^3. \]

Перемножаем:

\[ \frac{x^2y^3}{2}\cdot x^{-3}y^3 = \frac12 x^{-1}y^6 = \frac{y^6}{2x}. \]

Главный принцип: отрицательная степень «переворачивает» дробь, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при возведении степени в степень — умножаются.