749

Задача 749. В медную кастрюлю массой 2,5 кг налито 8 кг воды при 10 °С. Какое количество теплоты нужно, чтобы воду в кастрюле нагреть до кипения?

Краткий ответ: \(Q \approx 3{,}1\ \text{МДж}\) (точнее \(3\,114\,000\ \text{Дж}\)).

Решение

1. Что дано

• \(m_1 = 2{,}5\) кг — масса медной кастрюли;
• \(m_2 = 8\) кг — масса воды;
• \(t_1 = 10\ ^\circ\text{C}\), \(t_2 = 100\ ^\circ\text{C}\) (кипение) \(\Rightarrow \Delta t = 90\ ^\circ\text{C}\);
• \(c_1 = 400\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}\) — удельная теплоёмкость меди;
• \(c_2 = 4200\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}\) — удельная теплоёмкость воды.

2. Идея Греются два тела: вода и сама кастрюля. Значит, общее количество теплоты — сумма: \[ Q = Q_1 + Q_2 = c_1 m_1 \Delta t + c_2 m_2 \Delta t \]

3. Счёт \[ Q_1 = 400 \cdot 2{,}5 \cdot 90 = 90\,000\ \text{Дж} = 90\ \text{кДж} \] \[ Q_2 = 4200 \cdot 8 \cdot 90 = 3\,024\,000\ \text{Дж} = 3024\ \text{кДж} \] \[ Q = 90\,000 + 3\,024\,000 = 3\,114\,000\ \text{Дж} \approx 3{,}1\ \text{МДж} \]

Проверка (в общем виде): \[ Q = (c_1 m_1 + c_2 m_2)\Delta t = (400\cdot2{,}5 + 4200\cdot8)\cdot90 = (1000+33\,600)\cdot90 = 3\,114\,000\ \text{Дж} \] Сходится.

Ответ: \(Q \approx 3{,}1\ \text{МДж}\).

⚠️ Мелочь: в некоторых таблицах \(c_{\text{меди}} = 380\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}\). Тогда \(Q_1 = 85\,500\) Дж и \(Q \approx 3{,}11\) МДж — на ответ это практически не влияет.

Главный принцип для похожих задач: нагреваются все тела сразу — воду и посуду считаем отдельно, а результаты складываем. Если нужно, разберём так и 748-ю.

Вот так — прямо в тетрадь:

Дано:                     Решение:
m₁ = 2,5 кг (медь)        Δt = t₂ − t₁ = 100 − 10 = 90 °C
m₂ = 8 кг (вода)          Q = Q₁ + Q₂
t₁ = 10 °C                Q₁ = c₁m₁Δt = 400·2,5·90 = 90 000 Дж
t₂ = 100 °C               Q₂ = c₂m₂Δt = 4200·8·90 = 3 024 000 Дж
c₁ = 400 Дж/(кг·°C)       Q = 90 000 + 3 024 000 = 3 114 000 Дж
c₂ = 4200 Дж/(кг·°C)      Q ≈ 3,1 МДж
Найти: Q — ?
                          Ответ: ≈ 3,1 МДж (3,1·10⁶ Дж)

Можно ещё короче — одной строкой в решении:

\(Q = (c_1m_1 + c_2m_2)\Delta t = (400\cdot2{,}5 + 4200\cdot8)\cdot90 = 3\,114\,000\ \text{Дж} \approx 3{,}1\ \text{МДж}\)

Если учитель требует округлять до целых МДж — пиши 3 МДж, если до десятых — 3,1 МДж.

Задача 749

Дано: \(m_1 = 2{,}5\) кг (медь) \(m_2 = 8\) кг (вода) \(t_1 = 10\ ^\circ\text{C}\) \(t_2 = 100\ ^\circ\text{C}\) \(c_1 = 400\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}\) \(c_2 = 4200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}\)

Найти: \(Q\) — ?

Решение:

\(\Delta t = t_2 - t_1 = 100 - 10 = 90\ ^\circ\text{C}\)

\(Q = Q_1 + Q_2\)

\(Q_1 = c_1 m_1 \Delta t = 400 \cdot 2{,}5 \cdot 90 = 90\,000\) Дж

\(Q_2 = c_2 m_2 \Delta t = 4200 \cdot 8 \cdot 90 = 3\,024\,000\) Дж

\(Q = 90\,000 + 3\,024\,000 = 3\,114\,000\) Дж \(\approx 3{,}1\) МДж

Ответ: \(Q \approx 3{,}1\) МДж (3,1 · 10⁶ Дж).

Если в классе берут \(c_1 = 380\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot^\circ\text{C}}\), то пиши так:

\(Q_1 = 380 \cdot 2{,}5 \cdot 90 = 85\,500\) Дж

\(Q = 85\,500 + 3\,024\,000 = 3\,109\,500\) Дж \(\approx 3{,}1\) МДж

Ответ от этого не меняется.