Реши задание на изображении

Краткий ответ

Вариант I

1. Диагональ куба: \(2\sqrt{3}\) см.
2. Диагональ параллелепипеда: \(10\) см.

Вариант II

1. Диагональ куба: \(3\sqrt{3}\) см.
2. Диагональ параллелепипеда: \(12\) см.

Как это получается

1. Диагональ куба

У куба все рёбра равны \(a\). Сначала находим диагональ основания:

\[ d_{\text{осн}}^2=a^2+a^2=2a^2 \]

Теперь диагональ куба — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(d_{\text{осн}}\) и \(a\):

\[ d^2=2a^2+a^2=3a^2 \]

Значит,

\[ d=a\sqrt{3} \]

Подставляем:

• I: \(a=2\) см, поэтому
  \[ d=2\sqrt{3}\text{ см} \]

• II: \(a=3\) см, поэтому
  \[ d=3\sqrt{3}\text{ см} \]

2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде все пространственные диагонали равны. Если одна из них равна \(c\), то и другая диагональ тоже равна \(c\).

Поэтому:

• I: \(c=10\) см \(\Rightarrow\) диагональ \(10\) см;
• II: \(c=12\) см \(\Rightarrow\) диагональ \(12\) см.

Проверка

Для куба:

\[ (2\sqrt{3})^2=4\cdot3=12 \]

\[ (3\sqrt{3})^2=9\cdot3=27 \]

Это совпадает с формулой \(d^2=3a^2\): при \(a=2\) получаем \(3\cdot4=12\), при \(a=3\) — \(3\cdot9=27\).