Да ответ с дано найти решением и чертежами
Кратко:
- Углы: 60°, 60°, 120°, 120°.
- Боковые стороны: по 6 см.
- Меньшая боковая сторона: 6 см.
1) Углы равнобедренной трапеции
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), \(AB=CD\); один угол в 2 раза больше другого.
Найти: все углы.
Чертёж:
B-------C
/ \
/ \
A-------------D
Решение.
Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(2x\).
В трапеции углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают \(180^\circ\). В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому разные по величине углы — это острый и тупой:
\[ x+2x=180^\circ \]
\[ 3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=60^\circ \]
Тогда больший угол:
\[ 2x=120^\circ \]
Ответ: два угла по \(60^\circ\) и два угла по \(120^\circ\).
Проверка:
\[ 60^\circ+60^\circ+120^\circ+120^\circ=360^\circ \]
2) Боковые стороны равнобедренной трапеции
Дано:
\(ABCD\) — равнобедренная трапеция,
\(AD\parallel BC\),
\(AD=14\) см, \(BC=8\) см,
\(AB=CD\),
\(\angle ABC=120^\circ\).
Найти: \(AB\) и \(CD\).
Чертёж:
B------C
/| |\
/ | | \
A--E------F--D
Здесь \(BE\perp AD\), \(CF\perp AD\).
Решение.
Углы \(A\) и \(B\) при боковой стороне \(AB\) в сумме дают \(180^\circ\), значит:
\[ \angle BAD=180^\circ-120^\circ=60^\circ \]
В равнобедренной трапеции высоты отсекают от большего основания равные отрезки:
\[ AE=FD=\frac{AD-BC}{2} \]
\[ AE=\frac{14-8}{2}=3\text{ см} \]
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABE\). В нём:
\[ \angle A=60^\circ,\quad AE=3\text{ см} \]
\[ \cos 60^\circ=\frac{AE}{AB} \]
\[ \frac12=\frac{3}{AB} \]
\[ AB=6\text{ см} \]
Так как трапеция равнобедренная, то \(CD=AB=6\) см.
Ответ: боковые стороны равны 6 см и 6 см.
3) Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция,
\(AD\parallel BC\),
\(AB\perp AD\), \(AB\perp BC\),
\(AD=14\) см, \(BC=8\) см,
\(\angle D=45^\circ\).
Найти: меньшую боковую сторону.
Чертёж:
B------C
| \
| \
A----E---D
Проведём \(CE\perp AD\).
Решение.
Так как \(AB\perp AD\) и \(CE\perp AD\), то \(AB\parallel CE\), поэтому \(ABCE\) — прямоугольник. Значит:
\[ AE=BC=8\text{ см} \]
Тогда:
\[ ED=AD-AE=14-8=6\text{ см} \]
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CED\). В нём \(\angle D=45^\circ\), значит, второй острый угол тоже \(45^\circ\), и треугольник равнобедренный:
\[ CE=ED=6\text{ см} \]
Но \(AB=CE\), значит:
\[ AB=6\text{ см} \]
Найдём наклонную боковую сторону \(CD\):
\[ CD=\frac{CE}{\sin45^\circ}=6\sqrt2\approx8{,}49\text{ см} \]
Сравниваем:
\[ AB=6<CD=6\sqrt2 \]
Значит, меньшая боковая сторона — \(AB\).
Ответ: 6 см.
Главный приём для таких задач: в трапеции опускают высоты. Тогда она разбивается на прямоугольник и прямоугольные треугольники, где работают углы \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) и теорема Пифагора.
