Реши задание на изображении

Краткий ответ: а) \(C_4^3=4\); б) \(C_5^2=10\); в) \(C_7^5=21\);
г) \(C_{11}^3=165\); д) \(C_{12}^6=924\); е) \(C_{12}^8=495\).

Как это устроено

Число сочетаний считают по формуле: \[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} =\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}. \] Смысл: выбираем \(k\) предметов из \(n\), порядок выбора не важен.

Полезно использовать симметрию: \[ C_n^k=C_n^{\,n-k}. \] Например, \(C_7^5=C_7^2\), так считать проще.

Вычисления

а) \[ C_4^3=C_4^1=4. \]

б) \[ C_5^2=\frac{5\cdot4}{1\cdot2}=10. \]

в) \[ C_7^5=C_7^2=\frac{7\cdot6}{2}=21. \]

г) \[ C_{11}^3=\frac{11\cdot10\cdot9}{1\cdot2\cdot3}=165. \]

д) \[ C_{12}^6=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}=924. \]

е) \[ C_{12}^8=C_{12}^4= \frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=495. \]

Проверка: во всех пунктах применена одна и та же формула, а для в) и е) дополнительно использовано равенство \(C_n^k=C_n^{n-k}\). Ответы согласуются.